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1789年，法国发生大革命，工业发展，科学昌盛，世界数学中心也转至法国。法国巴黎高等师范学校、巴黎高等工业学校等，产生了大批的杰出数学家，如拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813）、勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752—1833）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749—1827）、柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789—1857）、傅里叶（Joseph Fourier，1768—1830）、蒙日（Gaspard Monge，1746—1818）等，都是顶尖的数学大师。
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到了19世纪，德国的资产阶级兴起，在数学上的代表人物则是高斯。
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高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855，图2.4.3）是全能数学家，数论、分析、几何、代数、概率等领域，都有他的足迹。一个家喻户晓的故事，说从1加到100是多少？少年高斯看出那是50个101，结果是5050。这个故事对于说明数学的魅力，很有价值。高斯的另一个著名工作是首先证明，任何一个n次代数方程在复数域内必有n个根。高斯曲率、高斯消去法、高斯最小二乘法、高斯整数、高斯曲面……以高斯命名的数学名词数不胜数。
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最值得提起的是高斯发现非欧几何。19世纪30年代，俄国的罗巴切夫斯基（Nikolas Ivanovich Lobachevsky，1792—1856）和匈牙利的波里埃（János Bolyai，1802—1860）都先后发现了“过平面上一点有多于一条直线与一给定直线平行”的几何。他们通过各种方式宣布或写成论文发表。其实，高斯早已发现这种几何，只是害怕众人不能接受，不敢公布。就这点而言，高斯太胆小了。
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◀ 图2.4.3 高斯
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在高斯之后有黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866）、克莱因（Felix Klein，1849—1925）、希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）等人，使德国在20世纪初成为世界数学中心。
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数学文化教程 第五节 信息时代的数学——20世纪世界数学中心的变迁
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一部近代世界史表明：世界经济军事大国一定也是数学文明的发源地。17世纪的英国爆发资产阶级革命，牛顿的微积分诞生在英伦三岛。18世纪法国大革命催生拿破仑帝国，法国数学学派称雄欧洲。19世纪中叶，德国资产阶级崛起，数学王子高斯带来德国数学的辉煌。到了20世纪的开头，国际数学界形成法国与德国数学争雄的格局。那时的美国尚未称霸世界，数学也处于二流水平。到了20世纪的中叶以后，则是美国数学与苏联数学对决的年代了。清代学者赵翼有诗云：“江山代有才人出，各领风骚数百年。”在数学界，能领先数百年是不可能的，能当几十年的霸主就很不容易了。
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1900年，第二届国际数学家大会在巴黎召开。法国的庞加莱任大会主席，德国的希尔伯特作大会报告。这反映了法、德两国在国际数学的领导地位依然平分秋色。
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庞加莱（Henri Poincaré，1854—1912，图2.5.1）是一位牛顿式数学家，关注天文学、物理学等自然科学中的数学问题，开创了定性理论、拓扑学等许多影响深远的新学科。庞加莱于1912年去世。法国数学渐渐走下坡路。不久前披露的档案表明，鉴于庞加莱的数学工作大气磅礴，在证明的严密性上有时不甚讲究，法国同行（包括他的导师皮卡）颇有非议。结果是权威的领导决定不让庞加莱教数学课，只能教天文学和物理学。20世纪20年代的法国数学，逐渐远离庞加莱的数学路线，研究领域缩小到纯粹数学中狭小的一块，简直成了“函数论王国”。于是一批年轻的数学家开始向德国格丁根学派学习，继承发扬希尔伯特的数学传统，努力走出函数论王国的圈子。这就是著名的布尔巴基（Bourbaki）学派。20世纪法国数学的这一亮点，使得德国希尔伯特形式主义成为一时的时尚。布尔巴基学派的结构主义的数学，曾经在20世纪50年代前后领导世界数学潮流，风靡一时。
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希尔伯特（图2.5.2）是一位全才的数学大师，曾有证据显示他和爱因斯坦各自独立地提出了广义相对论。不过，希尔伯特更以纯粹数学的创见、提倡形式主义的数学哲学而著称，可以说更具欧几里得那样的古希腊数学的特色。
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▲ 图2.5.1 庞加莱
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▲ 图2.5.2 希尔伯特
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希尔伯特赢得了很高的声誉。他在国际数学家大会上提出了20世纪将要解决的23个问题，引无数英雄竞折腰。能够解决其中一个问题都是极高的荣誉（著名的哥德巴赫猜想是第8问题的一部分）。希尔伯特引导的现代公理化数学思潮，成为人类数学文明的又一个高峰。
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20世纪的前30年，世界数学中心在德国的格丁根大学。那里曾是高斯、黎曼等大数学家工作的地方，以后则是希尔伯特为首的格丁根数学学派大本营。爱因斯坦发表相对论时，这里的闵可夫斯基就发展四维的时空几何。量子力学刚刚形成，外尔的《量子力学的数学基础》立即在格丁根问世。当过希尔伯特助教的冯·诺依曼，则建立起希尔伯特空间上的算子谱论，成为量子力学的数学框架。近代史上伟大的女数学家诺特在这里发表影响深远的“一般理想论”，开创抽象代数的先河。那时的欧洲，还从未有过女性的教授。希尔伯特为此忿忿不平：“大学评议会不是浴室，为什么不准妇女进入？”
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1933年的那个黑色的春天，立即把格丁根的辉煌葬送了。希特勒上台迫害犹太人，驱逐犹太籍的科学家。爱因斯坦是犹太人，冯·诺依曼、诺特都是犹太人，外尔的太太是犹太人，格丁根数学研究所的所长柯朗也是犹太人。他们先后被迫前往美国的普林斯顿和纽约，美国也因此成为新的世界数学中心。
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在20世纪初，像爱迪生那样的美国发明家领导着先进技术的世界潮流，经济实力已经达到世界前列。但是基础科学的水平还远落在欧洲后面。美国学生到欧洲学习数学，是普遍的现象。
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1930年，一位零售业富商，想捐款建造一所医学院，造福社会。当时的科学名流富莱斯纳告诉他，这些钱造一所医学院是不够的，而且纽约附近的医学院已经足够多。如果设立一个以数学为主的研究院，投资较少，而且美国正需要这样的基础性研究。这样，普林斯顿高等研究院便开始筹备。富莱斯纳到欧洲，请来爱因斯坦、外尔、冯·诺依曼三位顶尖的数理科学家，加上美国本土的三位数学家，强大的阵容一下子就把普林斯顿的学术声誉推到云端。诺特在普林斯顿附近的一所女子学院任教，柯朗则在纽约大学工作。大批的数学家难民从欧洲来到美国，造就了美国的数学辉煌。
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