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1701014411 1789年,法国发生大革命,工业发展,科学昌盛,世界数学中心也转至法国。法国巴黎高等师范学校、巴黎高等工业学校等,产生了大批的杰出数学家,如拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange,1736—1813)、勒让德(Adrien-Marie Legendre,1752—1833)、拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749—1827)、柯西(Augustin-Louis Cauchy,1789—1857)、傅里叶(Joseph Fourier,1768—1830)、蒙日(Gaspard Monge,1746—1818)等,都是顶尖的数学大师。
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1701014413 到了19世纪,德国的资产阶级兴起,在数学上的代表人物则是高斯。
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1701014415 高斯(Carl Friedrich Gauss,1777—1855,图2.4.3)是全能数学家,数论、分析、几何、代数、概率等领域,都有他的足迹。一个家喻户晓的故事,说从1加到100是多少?少年高斯看出那是50个101,结果是5050。这个故事对于说明数学的魅力,很有价值。高斯的另一个著名工作是首先证明,任何一个n次代数方程在复数域内必有n个根。高斯曲率、高斯消去法、高斯最小二乘法、高斯整数、高斯曲面……以高斯命名的数学名词数不胜数。
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1701014417 最值得提起的是高斯发现非欧几何。19世纪30年代,俄国的罗巴切夫斯基(Nikolas Ivanovich Lobachevsky,1792—1856)和匈牙利的波里埃(János Bolyai,1802—1860)都先后发现了“过平面上一点有多于一条直线与一给定直线平行”的几何。他们通过各种方式宣布或写成论文发表。其实,高斯早已发现这种几何,只是害怕众人不能接受,不敢公布。就这点而言,高斯太胆小了。
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1701014422 ◀ 图2.4.3 高斯
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1701014424 在高斯之后有黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826—1866)、克莱因(Felix Klein,1849—1925)、希尔伯特(David Hilbert,1862—1943)等人,使德国在20世纪初成为世界数学中心。
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1701014430 数学文化教程 第五节 信息时代的数学——20世纪世界数学中心的变迁
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1701014432 一部近代世界史表明:世界经济军事大国一定也是数学文明的发源地。17世纪的英国爆发资产阶级革命,牛顿的微积分诞生在英伦三岛。18世纪法国大革命催生拿破仑帝国,法国数学学派称雄欧洲。19世纪中叶,德国资产阶级崛起,数学王子高斯带来德国数学的辉煌。到了20世纪的开头,国际数学界形成法国与德国数学争雄的格局。那时的美国尚未称霸世界,数学也处于二流水平。到了20世纪的中叶以后,则是美国数学与苏联数学对决的年代了。清代学者赵翼有诗云:“江山代有才人出,各领风骚数百年。”在数学界,能领先数百年是不可能的,能当几十年的霸主就很不容易了。
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1701014434 1900年,第二届国际数学家大会在巴黎召开。法国的庞加莱任大会主席,德国的希尔伯特作大会报告。这反映了法、德两国在国际数学的领导地位依然平分秋色。
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1701014436 庞加莱(Henri Poincaré,1854—1912,图2.5.1)是一位牛顿式数学家,关注天文学、物理学等自然科学中的数学问题,开创了定性理论、拓扑学等许多影响深远的新学科。庞加莱于1912年去世。法国数学渐渐走下坡路。不久前披露的档案表明,鉴于庞加莱的数学工作大气磅礴,在证明的严密性上有时不甚讲究,法国同行(包括他的导师皮卡)颇有非议。结果是权威的领导决定不让庞加莱教数学课,只能教天文学和物理学。20世纪20年代的法国数学,逐渐远离庞加莱的数学路线,研究领域缩小到纯粹数学中狭小的一块,简直成了“函数论王国”。于是一批年轻的数学家开始向德国格丁根学派学习,继承发扬希尔伯特的数学传统,努力走出函数论王国的圈子。这就是著名的布尔巴基(Bourbaki)学派。20世纪法国数学的这一亮点,使得德国希尔伯特形式主义成为一时的时尚。布尔巴基学派的结构主义的数学,曾经在20世纪50年代前后领导世界数学潮流,风靡一时。
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1701014438 希尔伯特(图2.5.2)是一位全才的数学大师,曾有证据显示他和爱因斯坦各自独立地提出了广义相对论。不过,希尔伯特更以纯粹数学的创见、提倡形式主义的数学哲学而著称,可以说更具欧几里得那样的古希腊数学的特色。
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1701014443 ▲ 图2.5.1 庞加莱
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1701014448 ▲ 图2.5.2 希尔伯特
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1701014450 希尔伯特赢得了很高的声誉。他在国际数学家大会上提出了20世纪将要解决的23个问题,引无数英雄竞折腰。能够解决其中一个问题都是极高的荣誉(著名的哥德巴赫猜想是第8问题的一部分)。希尔伯特引导的现代公理化数学思潮,成为人类数学文明的又一个高峰。
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1701014452 20世纪的前30年,世界数学中心在德国的格丁根大学。那里曾是高斯、黎曼等大数学家工作的地方,以后则是希尔伯特为首的格丁根数学学派大本营。爱因斯坦发表相对论时,这里的闵可夫斯基就发展四维的时空几何。量子力学刚刚形成,外尔的《量子力学的数学基础》立即在格丁根问世。当过希尔伯特助教的冯·诺依曼,则建立起希尔伯特空间上的算子谱论,成为量子力学的数学框架。近代史上伟大的女数学家诺特在这里发表影响深远的“一般理想论”,开创抽象代数的先河。那时的欧洲,还从未有过女性的教授。希尔伯特为此忿忿不平:“大学评议会不是浴室,为什么不准妇女进入?”
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1701014454 1933年的那个黑色的春天,立即把格丁根的辉煌葬送了。希特勒上台迫害犹太人,驱逐犹太籍的科学家。爱因斯坦是犹太人,冯·诺依曼、诺特都是犹太人,外尔的太太是犹太人,格丁根数学研究所的所长柯朗也是犹太人。他们先后被迫前往美国的普林斯顿和纽约,美国也因此成为新的世界数学中心。
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1701014456 在20世纪初,像爱迪生那样的美国发明家领导着先进技术的世界潮流,经济实力已经达到世界前列。但是基础科学的水平还远落在欧洲后面。美国学生到欧洲学习数学,是普遍的现象。
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1701014458 1930年,一位零售业富商,想捐款建造一所医学院,造福社会。当时的科学名流富莱斯纳告诉他,这些钱造一所医学院是不够的,而且纽约附近的医学院已经足够多。如果设立一个以数学为主的研究院,投资较少,而且美国正需要这样的基础性研究。这样,普林斯顿高等研究院便开始筹备。富莱斯纳到欧洲,请来爱因斯坦、外尔、冯·诺依曼三位顶尖的数理科学家,加上美国本土的三位数学家,强大的阵容一下子就把普林斯顿的学术声誉推到云端。诺特在普林斯顿附近的一所女子学院任教,柯朗则在纽约大学工作。大批的数学家难民从欧洲来到美国,造就了美国的数学辉煌。
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