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鉴于以上类型例子的矛盾，数学家重新研究了集合论的基础，尝试用各种方法来避免悖论。他们提出了集合论的公理系统，其作用是对作为数学研究对象的集合加上一定的限制，使之得以消除产生悖论的可能。在这些限制下，上述种种“集合”都被排除在数学研究的对象之外。当然这些限制也是非常宽松的，足够保留数学理论所有有价值的东西，足够满足数学发展的需求。在这样的公理化理论中，集合这个概念仍然不加定义，但是它的性质就由所谓的“集合公理”反映出来。而对集合论基础的研究，导致了数学的一个重要分支——“数学基础”的迅速发展。
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2.集合的基数
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对一个集合，我们通常会关心其包含的事物数目，即包含的元素的多少。如果集合内的元素是有限多个，此时称集合为有限集。对于有限集，我们自然用其所含元素的个数来比较它们的大小。此时，也把集合内元素的个数称为集合的基数。如果一个集合内的元素有无穷多个，我们如何来定义集合的基数呢？我们又如何来比较两个无穷集合所含元素的多少呢？
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为此，我们先分析一下在有限集的情况下，两个集合内的元素的多少是如何比较的。
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每一个主妇都知道，如何判断客人的数目是否和椅子的数目相同：如果每个客人坐一把椅子，而每把椅子上都坐了一个客人，不同客人坐的椅子也不同（即没有两个客人合用一把椅子），则客人数目就和椅子的数目一样多。对于两个集合A和B，我们也可以用下面类似的方法来说明它们所含元素一样多。
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设法规定一个将集合A中元素和集合B中元素对应的方法（这种方法随集合的不同而不同，例如上面的例子中把客人和他坐的椅子作对应），在这种对应方法下，满足：
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1）对A的每一个元素，B中有一个元素和它对应；
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2）反过来，对于集合B中的任意一个元素，总可以找到A中的一个元素和它对应；
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3）A的元素不同，B中对应元素也不同。
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这时我们称A与B之间建立了一一对应关系，并认为，集合A中的元素和集合B中的元素一样多，称A和B有相同的基数。
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我们再来看由满足不等式0＜x＜1的一切有理数x所组成的集合，即区间（0，1）内的有理数全体。初看起来，（0，1）内的有理数相当多，因为任何两个有理数之间有无穷多个有理数，即有理数在（0，1）内是稠密的。但是可以证明，在区间（0，1）中的有理数和自然数一样多。证明的方法是这样的：
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因为（0，1）内的每一个有理数可以唯一表示为
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此处p和q都是自然数。我们可以按照先排分母后排分子的方法把（0，1）内的所有有理数排成一列，去掉那些分子、分母不互素的那些分数：
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按照这样的方法，（0，1）中的每一个有理数都可以在这个序列中找到自己唯一的位置，即每个数都有自己的位置号码。另外，这个序列又显然是无限长的（因为形如（k＞1）这样的有理数必在序列中）。这样一来，（0，1）中有理数集就和自然数集之间建立起了一一对应关系，即（0，1）内的有理数集合的基数等于自然数集的基数N。
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那么有没有一个集合的基数比N更大呢？或者说，有没有一个含有比自然数更多元素的集合呢？
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答案是肯定的。我们以下证明（0，1）内一切实数所组成的集合的基数比N大。
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（0，1）内的实数都可以表示为一个无限的小数：
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0.q1q2…,
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这里的q1，q2，…是0—9中的一个数字。反之，任何一个用这种形式表示的小数也一定在区间（0，1）内。假如（0，1）中的实数的基数和自然数的基数相同，都为N，则我们一定有一个方法可以将它们和自然数对应起来，即可以给它们依次编号。我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，把它们依次写出，就是：
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a1,a2,a3,….
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现在我们来构造一个小于1的正实数r：它的小数点后的第一位与上面的第一个数a1的第一位小数数字不同。例如，假设第一个数是0.123456…，则r的小数点后的第一位小数取2或3，等等。r的第二位数字和第二个数a2的第二位小数的数字不同。依次可以得到r的第n位小数位上的数字和an的第n位数字不同。这样得到的r是（0，1）内的一个实数。但是r却没有被编号：因为任何一个已编号的实数和r至少在一个小数位上的数字不同。这就是说，（0，1）中的有理数集合不可能和自然数集合建立起一一对应关系。简单地说，就是（0，1）中的有理数比自然数要“多”。
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如果我们把（0，1）的基数记作R，则R要大于N。R称为连续统的基数。