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例3 我们把在队列操练中的几个动作用记号表示出来：
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保持不动记为R0，向右转记为R90，向左转记为R-90，向后转记为R180。记这些动作组成的集合为M。
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在M内规定两个动作的“°”运算为两个动作相继进行的结果，如R90 °R-90表示先向右转再向左转，结果是保持原来的状态，即R90 °R-90等于集合中的元素R0。由于任意两个动作的结果总是这四个动作之一，所以M关于运算“°”总是可行的。进一步，M还关于这种运算“°”成群：其中的单位元e=R0，各元素的逆元如下表所示：
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例4 由“非”和“是”组成集合M={非，是}，用下列各等式规定M内的乘法×：
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是×是=是；
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是×非=非；
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非×是=非；
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非×非=是。
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可以验证：集合M和关于这样规定的乘法满足所有群的要求：其单位元为e=“是”，因为“是×非=非”，“是×是=是”；每个元素的逆元为自己。
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如果我们把“是”看作“1”，把“非”看作“-1”，把这里规定的乘法等同于数的乘法，则在运算等式
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是×非=非
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中把“是”改作“1”，把“非”改作“-1”，就得到数的集合M中的运算等式：
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1×(-1)=-1.
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奇数个-1之积等于-1，偶数个-1之积等于1。这就是通常逻辑学中的规律：
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奇数次否定之结果等于否定，偶数次否定之结果等于肯定。
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群的概念就是从整数、实数等许多具体的集合以及它们的运算性质的基础上抽象出来的。在19世纪的最后十年，数学家认识到，对许多不相联系的代数系统抽出它们共同的内容进行综合的研究，可以达到事半功倍的效果。正是对群及其他一大类抽象集合和它们结构的研究，逐渐形成了近世代数这一个现代数学的分支。数学家研究了各种不同群的结构、表示，并进行分类。这些研究在实践中得到了多方面的应用。
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例5 平面上的对称群和装饰花纹。
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一个平面图形，经过一些运动之后，可以保持形状不变。所有“经过该运动后使得有限的平面图形不变”的运动组成这个“运动群”。
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例如，对一个正方形来说，绕中心（对角线交点）顺时针旋转90°后图形不改变，“绕中心顺时针旋转90°”就是使正方形不变的一个运动。此外，如果将正方形绕对角线翻转，图形也不变，所以“绕对角线翻转”也是使正方形不变的一个运动。
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如图3.3.1，正方形ABCD绕对角线AC翻转后，B点变为D点，D点变为B点，线段AB变为线段AD，线段AD变为线段AB，线段CB变为线段CD，线段CD变为线段CB。
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还有更多的使正方形不变的运动。例如，“绕中心顺时针旋转180°”可以看作“绕中心顺时针旋转90°”两次，由于每次绕中心顺时针旋转90°图形不变，因而绕心顺时针旋转180°也使图形不变，这样，绕中心顺时针旋转180°也是使图形不变的一个运动。一般而言，前后连续作任何两个使图形不变的运动，结果图形也不变。把两个运动按这样方式的叠加可以看作两个运动的“乘积”，经过验证可以得到，所有使正方形图形不变的运动的集合满足群的要求，这个群称为正方形的对称群。
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为直观起见，我们把图形看作是一块均匀的板。使平面上任意一个有限图形不变的运动，也必然保持其重心不变。由此可以推知，这样的运动或是绕其重心的旋转，或是关于过其重心的某条直线的翻转。因而任意有限平面图形的对称群仅由绕其重心的某些旋转及关于过重心的某些直线的翻转生成。
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对平面有限图形对称群的研究和分类，发现只可能出现如下几种不同情形（图3.3.2）：
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