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让我们看定积分。它是积分和的极限。如果将闭区间[0，1]作n等份，插入的分点是0=x0＜x1＜…＜xn=1，那么xi-xi-1都h等（ti于）。这时和式
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就是n个函数值f （xi ）（i=1，2，···，n）的平均值。现在令n→∞，就相当于f（x）在[0，1]上的平均值，而这正是积分。
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这样一来，定积分和平均温度就联系在一起了。
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一般地，考察f（x）在区间[a，b]上的平均值，它当然就可以定义为
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辩证地看，局部是整体细分后“小整体”量的极限。反映全部变化的“大整体”，则是局部变化累积的结果。
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微积分的魅力，就在于这种深刻的思考，成为人类理性思维的典范。
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4.积分的基本性质
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（1）积分对被积函数的可加性。对任何常数α，β，
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（2）积分关于区间的可加性。对任何常数c，
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（3）积分的单调性。若x [a，b]，有f （x） g（x）
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以上三项基本性质。直接用定义就能推出来。
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最后我们要证明：
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定积分的中值定理 如果函数f （x）在闭区间[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一点ξ，使得
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证明 设f （x）在[a，b]上的最小值和最大值分别是m，M。则有
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