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既然f （x）dx介于连续函数f （x）在闭区间[a，b]上的最小值m与最大值M之间，则根据介值定理（见本章第三节），在[a，b]上至少存在一点ξ，使得
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证毕。
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定积分中值定理可以解释许多几何与物理现象。以下是两个例子。
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（1）如图5.8.9：以区间[a，b]为底边，以曲线y=f （x）为高的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f（ξ）的矩形面积。
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（2）如果y=f （t）表示在时刻t的温度，则在时间段[a，b]上的平均温度，必然与在某一时刻ξ∈（a，b）的温度f （ξ）相等。
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▲ 图5.8.9 积分中值定理示意图
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数学文化教程 [:1701013741]
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数学文化教程 第九节 更上一层楼：寻找原函数
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如果函数F （x）的导F′数（x）是=f （x），即F′（x）=f （x），那么称F （x）为F′（x）=f （x）的一个原F函′（数x）。=f （x）的原函数不止一个，彼此之间相差一个常数。使用莱布尼茨的符号，记之为
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F (x)+C=∫f (x) dx,
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其中∫表示F求′（函x）数=f （x）原函数的运算，称为不定积分。
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这样一来，在理论上就有了这样的函数链条，一个函数F （x）通过不断地求导，得到向右伸展的无限序列：
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F′(x),F′′(x),F′′′(x),···,F(n) (x),···
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这样的函数是有的（我们称之为解析函数），如sin x，cos x等。
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另一方面，许F多′（函x）数=f （x）可以有原函数，而原函数又可以有原函数。于是得到向左的无限序列：
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…,∫∫∫f (x)dxdxdx,∫∫f (x)dxdx,∫f (x)dx,f (x).
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例如，以y=x2为中心，它的导函数是y′=2 x（下一级）；而它又是的导数，后者构成了它的一个原函数（上一级）。y=x2的有些整体性质（增减、极值等）靠它的“下级”函数来展示，而围成的曲边梯形面积的整体性质则靠它的“上级”函数（原函数）来刻画。这样，环环相扣，函数性质的研究到达微积分时代，开创了初等数学所无法达到的新局面。
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我们首先要问，什么样的函数必定会存在原函数呢？
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答案F是′（，x）若=f （x）在区间[a，b]上连续，则一定有原函数。怎样思考呢？还是回到定积分的几何意义：曲边梯形的面积。由图5.9.1可知，整个曲边梯形面积是一段段的微矩形面积累加起来的。每个微矩形的底边长dxF，′（高x）是=f （x），其面积是[a，x+Δx]段上的曲边梯形面积f （x）d，