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既然f (x)dx介于连续函数f (x)在闭区间[a,b]上的最小值m与最大值M之间,则根据介值定理(见本章第三节),在[a,b]上至少存在一点ξ,使得
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证毕。
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定积分中值定理可以解释许多几何与物理现象。以下是两个例子。
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(1)如图5.8.9:以区间[a,b]为底边,以曲线y=f (x)为高的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f(ξ)的矩形面积。
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(2)如果y=f (t)表示在时刻t的温度,则在时间段[a,b]上的平均温度,必然与在某一时刻ξ∈(a,b)的温度f (ξ)相等。
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▲ 图5.8.9 积分中值定理示意图
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数学文化教程 第九节 更上一层楼:寻找原函数
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如果函数F (x)的导F′数(x)是=f (x),即F′(x)=f (x),那么称F (x)为F′(x)=f (x)的一个原F函′(数x)。=f (x)的原函数不止一个,彼此之间相差一个常数。使用莱布尼茨的符号,记之为
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F (x)+C=∫f (x) dx,
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其中∫表示F求′(函x)数=f (x)原函数的运算,称为不定积分。
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这样一来,在理论上就有了这样的函数链条,一个函数F (x)通过不断地求导,得到向右伸展的无限序列:
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F′(x),F′′(x),F′′′(x),···,F(n) (x),···
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这样的函数是有的(我们称之为解析函数),如sin x,cos x等。
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另一方面,许F多′(函x)数=f (x)可以有原函数,而原函数又可以有原函数。于是得到向左的无限序列:
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…,∫∫∫f (x)dxdxdx,∫∫f (x)dxdx,∫f (x)dx,f (x).
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例如,以y=x2为中心,它的导函数是y′=2 x(下一级);而它又是的导数,后者构成了它的一个原函数(上一级)。y=x2的有些整体性质(增减、极值等)靠它的“下级”函数来展示,而围成的曲边梯形面积的整体性质则靠它的“上级”函数(原函数)来刻画。这样,环环相扣,函数性质的研究到达微积分时代,开创了初等数学所无法达到的新局面。
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我们首先要问,什么样的函数必定会存在原函数呢?
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答案F是′(,x)若=f (x)在区间[a,b]上连续,则一定有原函数。怎样思考呢?还是回到定积分的几何意义:曲边梯形的面积。由图5.9.1可知,整个曲边梯形面积是一段段的微矩形面积累加起来的。每个微矩形的底边长dxF,′(高x)是=f (x),其面积是[a,x+Δx]段上的曲边梯形面积f (x)d,
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