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1701016593 减去[a,x]段上曲边梯形的面积()df x x。于是,我们可以把()df x x看作是x的函数,并F称′(之x)为=f (x)的活动上限积分函数。
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1701016597 积分学基本定理 F若′(函x)数=f (x)在区间[a,b]上连续,则其活动上限定积分F(x)=f (t)dt可导,且F′(x)=。
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1701016602 ▲ 图5.9.1
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1701016607 如何求出任意函数的原函数以及不定积分,需要一些运算技巧。好在平常所见的一些初等函数,有积分表可以查。本书不拟多所涉及。
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1701016612 数学文化教程 [:1701013742]
1701016613 数学文化教程 第十节 一桥飞架南北,天堑变通途——牛顿—莱布尼茨公式
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1701016615 现在我们有了两种积分:定积分和不定积分。定积分的思想来自求曲边梯形面积,和微分学本无直接联系。至于不定积分,则直接从“导数”的反问题引出。那么两者间究竟有怎样的关系呢?这一节的微积分基本定理将给出答案。
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1701016617 我们先从整体上作一考察。如前所说,求曲边梯形面积的本质在于将局部的微分累积起来,借用极限方法获知整体结论。不定积分则是求原函数,例如,已知时间间隔[a,b]上的速度函数v(t),求位移函数S(t)。
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1701016619 我们已经理解,在时间间隔[t,t+Δt]内,物体运动的位移约为v(t)·Δt,
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1701016621 相当于以Δt为底边,v(t)为高的一个小矩形的面积。将这些小位移累积起来取极限,获知物体从S(a)移动到了S(b),整体的位移是S(b)-S(a)。仔细地品味一下,这似乎同样是一个积分过程。所以二者必有内在的联系。
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1701016623 于是我们猜想,如果FF′((xx))是=f (x)的原函数,即F′(x)=f (x),那么
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1701016628 先看一些例子。
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1701016630 例1(匀速直线运动)在时间间隔[a,b]内,v(t)是一常数k,其图像是一条水平线段,与t轴围成的图形是矩形:宽度是时间长b-a,高度是速度k。相乘得到的面积,即时间乘以速度,也就得到位移s(t)=k (b-a)。
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1701016632 kt是常数k的原函数,此时的F (b)-F (a)=kb-ka=k (b-a)。
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1701016636 例2(自由落体运动)考察一物体在时间间隔[0,T]内自由下落,其初始速度是0,重力加速度g是常数。于是各个时刻的瞬时速度是v(t)=gt。它的图像是自原点出发的一条线段,与t轴,t=T围成的图形是三角形,面积是。再看v(t)的一个原函数是S (t)=(1/2)gt2。此时S(T)-S(0)=。
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1701016638 这样看来,我们的猜想是有实例支持的。
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