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下面,我们给出线性空间严格的定义。
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定义 设V是一个非空集合,F是一个数域。在集合V的元素之间定义一种代数运算,叫做加法:即给出一个法则,使得对于V中任意两个元素x和y,在V中都有唯一的一个元素z与它们对应,称之为x与y的和,记为z=x+y。在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法:对于数域F中任一数k与V中任一元素x,在V中都有唯一的一个元素y与它们对应,称之为k与x的数量乘积,记为y=kx。如果所定义的加法和乘法还满足下述规则,那么就称V为数域F上的线性空间。
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1.V对加法成交换群,即满足:
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(1)(交换律)x+y=y+x;
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(2)(结合律)(x+y)+z=x+(y+z)
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(3)(零元素)在V中有一元素0,对于V中任一元素x都有x+0=x;
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(4)(负元素)对于V中每一个元素x,都有V中的元素y,使得x+y=0;此时的y也可写成-x。
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2.数量乘法满足:
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(5)1x=x;
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(6)k(lx)=(kl)x;
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3.数量乘法和加法满足:
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(7)(k+l)x=kx+lx;
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(8)k(x+y)=kx+ky.
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其中,x,y,z为V中任意元素,k,l为数域F中的任意元素。1是F的乘法单位元。数域F称为线性空间V的系数域或基域,F中的元素称为纯量或数量(scalar),V中元素称为向量(vector)。当系数域F为实数域时,V称为实线性空间。
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不难验证:全体一次函数、全体多项式、全体连续函数等,都满足上述的定义。
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7.1.2 向量空间
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力,作为向量,古已有之。但作为向量结构,则是18世纪以后的事情。向量全面进入中国的中学数学课程,已到21世纪了。
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(1)第一代向量:以合力的平行四边形法则为特征。
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力,是向量的最常见的实例。大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合可用平行四边形法则来得到。这是向量的第一代。以后的一千多年中,经过文艺复兴时期,牛顿创立微积分之后的17、18世纪,向量的知识没有什么变化。
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伽利略只不过更清楚地叙述了“平行四边形法则”而已。这点向量知识,尚不能发展成为一门独立的学科。
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(2)第二代向量:有“数乘”运算,可以进行力的分解。
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力既然有合成,则必有分解。力的合成相当于向量的加减。但是,力的分解,只靠加减运算无法完成,必须引进另一个运算:“数乘”。有了“数乘”,向量具有了自己的特定数学结构。
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许多向量计算问题要基于向量分解。因此,通常把向量的分解,叫做“向量的基本定理”。该定理是要回答:在平面上,如果e1,e2不共线,任意向量a能否用e1,e2表示呢?
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事实上,由于e1,e2的大小是固定的,a的大小却可以任意,所以一般做不到a=e1+e2。但是如果e1,e2可以拉长或缩短,那就可以做到了。如图7.1.1,有且只有一对实数λ1,λ2,使a==λ1e1+λ2e2。
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