1701017340
1701017341
下面，我们给出线性空间严格的定义。
1701017342
1701017343
定义 设V是一个非空集合，F是一个数域。在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法：即给出一个法则，使得对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与它们对应，称之为x与y的和，记为z=x+y。在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法：对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与它们对应，称之为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果所定义的加法和乘法还满足下述规则，那么就称V为数域F上的线性空间。
1701017344
1701017345
1.V对加法成交换群，即满足：
1701017346
1701017347
（1）（交换律）x+y=y+x；
1701017348
1701017349
（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）
1701017350
1701017351
（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；
1701017352
1701017353
（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；此时的y也可写成-x。
1701017354
1701017355
2.数量乘法满足：
1701017356
1701017357
(5)1x=x;
1701017358
1701017359
(6)k(lx)=(kl)x;
1701017360
1701017361
3.数量乘法和加法满足：
1701017362
1701017363
(7)(k+l)x=kx+lx;
1701017364
1701017365
(8)k(x+y)=kx+ky.
1701017366
1701017367
其中，x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素。1是F的乘法单位元。数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中的元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。
1701017368
1701017369
不难验证：全体一次函数、全体多项式、全体连续函数等，都满足上述的定义。
1701017370
1701017371
7.1.2 向量空间
1701017372
1701017373
力，作为向量，古已有之。但作为向量结构，则是18世纪以后的事情。向量全面进入中国的中学数学课程，已到21世纪了。
1701017374
1701017375
（1）第一代向量：以合力的平行四边形法则为特征。
1701017376
1701017377
力，是向量的最常见的实例。大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合可用平行四边形法则来得到。这是向量的第一代。以后的一千多年中，经过文艺复兴时期，牛顿创立微积分之后的17、18世纪，向量的知识没有什么变化。
1701017378
1701017379
伽利略只不过更清楚地叙述了“平行四边形法则”而已。这点向量知识，尚不能发展成为一门独立的学科。
1701017380
1701017381
（2）第二代向量：有“数乘”运算，可以进行力的分解。
1701017382
1701017383
力既然有合成，则必有分解。力的合成相当于向量的加减。但是，力的分解，只靠加减运算无法完成，必须引进另一个运算：“数乘”。有了“数乘”，向量具有了自己的特定数学结构。
1701017384
1701017385
许多向量计算问题要基于向量分解。因此，通常把向量的分解，叫做“向量的基本定理”。该定理是要回答：在平面上，如果e1，e2不共线，任意向量a能否用e1，e2表示呢？
1701017386
1701017387
1701017388
事实上，由于e1，e2的大小是固定的，a的大小却可以任意，所以一般做不到a=e1+e2。但是如果e1，e2可以拉长或缩短，那就可以做到了。如图7.1.1，有且只有一对实数λ1，λ2，使a==λ1e1+λ2e2。
1701017389