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平面上全体向量组成的集合V，如果其上定义了加法和数乘运算，就成为一种新的数学结构，即上述的线性空间。这里的“数”，通常为实数。
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第一代向量只是单独的个体。第二代向量，则不再是孤立地看几个向量的运算，而是形成了一族向量，构成“线性空间”的“社会”，彼此利益相连，有合有分，浑然一体。如果说第一代向量是远古的“原始人”，那么第二代向量就相当于具有社会性质的“文明人”了。
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（3）第三代向量：数量积和向量积的引入。
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更进一步，英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立引进了向量的数量积，终于使向量成为性能优良的数学工具。
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向量几何使用“向量的数量积”，提供了处理复杂几何问题的装备。在解析几何里，两条直线的夹角，当然也可以从两直线方程的系数求得。但在向量几何里，它不过是两直线所在的方向的单位向量的数量积。本来很费事的夹角问题，通过一次向量运算就解决了。接着，三角形的面积也可以用向量的数量积求得。由于面积是平面几何里的“帝王不变量”，许多几何命题迎刃而解。至于利用向量讨论直线与直线的垂直与平行，空间线面、面面之间的位置关系，比起综合方法需要“个别处理”的技巧，更是“一揽子”解决的手段，显得十分轻松。两条直线是否垂直，只需要看相应的两个向量的数量积是否为0，何等简便！向量计算，能够精中求简，“以简驭繁”。由于计算机技术的发展，向量方法的使用，未来还会有更大的空间。向量，因此也应成为中学数学舞台上的一位“主角”。
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▲ 图7.1.1 向量分解成为两个不共线向量的示7意.1图.1
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可以说，引进了数量积的第三代向量，就好像人类社会掌握了高科技，可以呼风唤雨，上天入地。“文明人”进步到“现代人”的程度了。这种拟人化的比方，不妨作为向量发展的基本线索。
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7.1.3 欧氏空间
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我们生活的现实空间是三维的平直空间：各向同性，平直广延，没有弯曲。笛卡儿引进坐标，一点A有三个坐标（a 1 a2 a3）。不过，点是不能计算的。后来将它看做三维向量，就可以做加减、数乘，构成线性空间。进一步引入数量积，就成为三维的欧几里得空间了。
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一般地，由n维向量组成的集合，按照向量的加法和数乘（实数），构成线性空间。如果还定义了两个向量之间有数量积运算，就是一种新的结构，称为n维欧氏空间。
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两个n维向量x=（x1，x2，…，xn）和y=（y1，y2，…，yn）的数量积（x，y）是指如下的数：
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数学文化教程 [:1701013755]
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数学文化教程 第二节 线性空间上的矩阵
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矩阵，简单地说，就是线性空间上的线性函数。它与线性方程组的求解密切相关。
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7.2.1 线性方程组的矩阵表示
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我们以三阶线性方程组为例进行说明。
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现在，把这一方程组的各项系数排成一个3×3方阵，简称为3阶矩阵。
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一般地，可以有m×n的排列，称为m×n矩阵。如3×4的排列为
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