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早在1918—1919年,法图(Pierre Joseph Louis Fatou,1878—1929)和茹利亚(Gaston Maurice Julia,1893—1978)发现,通过一个非线性映射的迭代,可以把复平面划分成两部分,一部分后被称为法图集,另一部分被称为茹利亚集(J集)。他们在没有电子计算机帮助的情况下,凭借深邃的洞察力,察觉出许多迭代复数列的行为。随后的50年间,这方面的研究没有得到什么进展。随着电子计算机的出现,这一研究课题重获生机。
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1980年,曼德勃罗用计算机绘出用他名字命名的曼德勃罗集(M集)的第一张图来。曼德勃罗集可以用以下的复二次多项式生成:
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fc (z)=z2+c,
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其中c是一个复参数。对于每一个c,从z=0开始用fc(z)进行迭代。得到复数数列(0,fc (0),fc (fc (0)),fc (fc (fc (0))),…)。这个数列或者发散到无限大,或者是有界的数列。所谓曼德勃罗集,就是使以上序列为有界数列的那些复数c所成的集合。这些c点的集合在图7.5.6中就是黑色的部分。
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值得注意的是:这个集合的边缘有着非常美丽的自相似性。图7.5.7是边缘部分的7级放大情形。无穷的魅力使得人们将曼德勃罗集称为数学恐龙。
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现在从另外的角度考虑迭代:让常数c固定;迭代的初值z0不再是0,而可以是任意的复数。这时,由初值z0迭代之后形成的复数列,如果是稳定的,即正则收敛的,则称z0属于法图集;否则,即由z0生成的数列是混沌的,就说z0属于茹利亚集。这样,对于上述的二次迭代来说,当c给定之后,就把复平面分成两部分:法都集和茹利亚集。
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▲ 图7.5.6 曼德勃罗集
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▲ 图7.5.7 曼德勃罗集及其七级放大区域图
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现在,再来谈曼德勃罗集与茹利亚集之间的关系。如果常数c取自曼德勃罗集,那么与c相应的茹利亚集是连通的。反之亦然。因此,它们之间的关系可以比作书和页:曼德勃罗集是一本巨大的书,而一个茹利亚集只是其中的一页。根据点c是否在曼德勃罗集之内部,就能够预测相应的茹利亚集的外形及大小。曼德勃罗集是一本可以查阅所有茹利亚集的词典。茹利亚集有自相似性质,而曼德勃罗集没有这种性质。
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图7.5.8和图7.5.9为两个例子。由此可见,一个复数域上的二次函数就能形成如此复杂的图像,分形几何乃至整个非线性世界将会是怎样的丰富多彩,复杂多变,我们也就可以想象一二了。
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▲ 图7.5.8 常数c=1-a(a是黄金比)时,二次迭代产生的茹利亚集
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▲ 图7.5.9 c=-0.123+0.745i时,生成的茹利亚集称为Douady的兔子分形
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[1] 函数f (x)的不动点p,是指自变量x=p时,函数值也等于p,即f (p)=p。
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数学文化教程 第八章 数学应用例谈
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20世纪下半叶以来,数学应用大量涌现,有的已经发展为新的数学分支。我们不能正面介绍诸多的数学内涵,但可以举例说明其内在价值。
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