1701017790
1701017791
早在1918—1919年，法图（Pierre Joseph Louis Fatou，1878—1929）和茹利亚（Gaston Maurice Julia，1893—1978）发现，通过一个非线性映射的迭代，可以把复平面划分成两部分，一部分后被称为法图集，另一部分被称为茹利亚集（J集）。他们在没有电子计算机帮助的情况下，凭借深邃的洞察力，察觉出许多迭代复数列的行为。随后的50年间，这方面的研究没有得到什么进展。随着电子计算机的出现，这一研究课题重获生机。
1701017792
1701017793
1980年，曼德勃罗用计算机绘出用他名字命名的曼德勃罗集（M集）的第一张图来。曼德勃罗集可以用以下的复二次多项式生成：
1701017794
1701017795
fc (z)=z2+c,
1701017796
1701017797
其中c是一个复参数。对于每一个c，从z=0开始用fc（z）进行迭代。得到复数数列（0，fc （0），fc （fc （0）），fc （fc （fc （0））），…）。这个数列或者发散到无限大，或者是有界的数列。所谓曼德勃罗集，就是使以上序列为有界数列的那些复数c所成的集合。这些c点的集合在图7.5.6中就是黑色的部分。
1701017798
1701017799
值得注意的是：这个集合的边缘有着非常美丽的自相似性。图7.5.7是边缘部分的7级放大情形。无穷的魅力使得人们将曼德勃罗集称为数学恐龙。
1701017800
1701017801
现在从另外的角度考虑迭代：让常数c固定；迭代的初值z0不再是0，而可以是任意的复数。这时，由初值z0迭代之后形成的复数列，如果是稳定的，即正则收敛的，则称z0属于法图集；否则，即由z0生成的数列是混沌的，就说z0属于茹利亚集。这样，对于上述的二次迭代来说，当c给定之后，就把复平面分成两部分：法都集和茹利亚集。
1701017802
1701017803
1701017804
1701017805
1701017806
▲ 图7.5.6 曼德勃罗集
1701017807
1701017808
1701017809
1701017810
1701017811
▲ 图7.5.7 曼德勃罗集及其七级放大区域图
1701017812
1701017813
现在，再来谈曼德勃罗集与茹利亚集之间的关系。如果常数c取自曼德勃罗集，那么与c相应的茹利亚集是连通的。反之亦然。因此，它们之间的关系可以比作书和页：曼德勃罗集是一本巨大的书，而一个茹利亚集只是其中的一页。根据点c是否在曼德勃罗集之内部，就能够预测相应的茹利亚集的外形及大小。曼德勃罗集是一本可以查阅所有茹利亚集的词典。茹利亚集有自相似性质，而曼德勃罗集没有这种性质。
1701017814
1701017815
图7.5.8和图7.5.9为两个例子。由此可见，一个复数域上的二次函数就能形成如此复杂的图像，分形几何乃至整个非线性世界将会是怎样的丰富多彩，复杂多变，我们也就可以想象一二了。
1701017816
1701017817
1701017818
1701017819
1701017820
▲ 图7.5.8 常数c=1-a（a是黄金比）时，二次迭代产生的茹利亚集
1701017821
1701017822
1701017823
1701017824
1701017825
▲ 图7.5.9 c=-0.123+0.745i时，生成的茹利亚集称为Douady的兔子分形
1701017826
1701017827
[1] 函数f （x）的不动点p，是指自变量x=p时，函数值也等于p，即f （p）=p。
1701017828
1701017829
1701017830
1701017831
1701017832
数学文化教程 [:1701013759]
1701017833
数学文化教程 第八章 数学应用例谈
1701017834
1701017835
20世纪下半叶以来，数学应用大量涌现，有的已经发展为新的数学分支。我们不能正面介绍诸多的数学内涵，但可以举例说明其内在价值。
1701017836
1701017837
1701017838
1701017839