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数学文化教程 第一节 数学与民主投票
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投票是民主政治的表现之一，可是很少有人知道数学和投票有非常密切的联系。候选名额的分配、选举者选票的投法、判断当选的规定、党派联合的多数组成等，一系列的问题都涉及数据的处理。因此，必要的数学知识已成为民主意识的组成部分。
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1.不同的选举方案
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民主选举的最基本的原则是“少数服从多数”，即获得最多选票的人（或计划、行动等）当选。不过，投票的程序可以有很多种。假定候选人是5名，只有1人当选，常见的方案有
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A 简单多数票。
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B 若无人过半数，则在两位获票最多的候选人之间增加一场决定性竞选。
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C 选举人可以对5名候选人中的一名投赞成票（+1）、另一位不喜欢的人投反对票（-1），最后以得票的代数和最高者当选（支持票数减去反对票数）。
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D 赞成选举法：可以对5名候选人中喜欢者都投票，即选举者可以投1至5票，最高得票的一人当选。
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E 排序方案：选举人可以将5名候选人排队，即对5人中最满意的投5票，其次的投4票，再次的投3票，排第四位的只投2票，最不满意的投1票，不得弃权。
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让我们来评论这五种方案：方案A最简单易行，缺点是当选者的得票数可能未过半；也就是说，未必能代表大多数选民的意愿。方案B较A为好，保证最后的当选者得票数过半；但是要选两次，比较麻烦。方案C允许投反对票，可以让选举人充分表达意愿；但可能让缺点和优点都不突出的“中间人物”当选。方案D的赞成投票法，能够充分表达选民的倾向，使得当选者能够获得较多的选民拥护，不会出现同一纲领的多名候选人选票分散的情形；缺点是实行比较困难，因为选举人有5票投票权，如何分配给这5个人有多种选择。没有投票经验的人往往会乱投一气，反而失去真实。方案E可能出现非常复杂的情况：人们共有5！=120种不同的选择，容易失控。
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例 假设某团体打算出外旅游，有三种选择：西湖、太湖、泰山。请21位成员投票决定。可能有以下情况出现：
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（1）按方案A，以简单多数确定；此时的票数为：西湖5票、太湖6票、泰山10票；结果泰山中选。
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（2）按方案B，令太湖和泰山对决；结果支持西湖的选票全部转向太湖，共11票，超过泰山的10票；于是太湖中选。
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（3）按方案C，大家对去西湖不反对；在赞成去西湖的5个人中，有1人反对去泰山；但想去太湖的6人非常不愿意爬山；而在愿意去泰山的10人中，有7人反对去太湖。结果是
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西湖 5-0=5；太湖 6-7=-1；泰山 10-6-1=3票。
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于是，西湖中选；太湖竟然得了负票，排在末位。
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（4）按方案D，每人可投1～3张选票。原投西湖的5人，也喜欢太湖，但不愿意爬泰山；他们的投票分布为5，5，0。原投太湖的6人中，只喜欢太湖，不投其他的票；投票分布为0，6，0。原喜欢泰山的10人中，4人愿意去太湖，4人不反对游西湖；投票分布为4，4，10。综合投票分布是
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西湖 5+0+4=9，太湖 5+6+4=15，泰山 0+0+10=10。
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结果，在方案C中最不受欢迎的太湖以15票中选。
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（5）按方案E，得到的结果是（共有6种可能的排列，为简单计，只列三种）
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5人选择西湖＞太湖＞泰山；
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6人选择太湖＞西湖＞泰山；
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10人选择泰山＞西湖＞太湖。
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于是，
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西湖票数3×5+2×6+2×10=47；
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