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数学真好玩 欢迎来到虚数的世界
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扩大的数的世界
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1、2、3、4、5、6、7、……
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一切从“自然数”开始。数的世界历史都是从这里开始编织的。
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文明的进化与数和计算的关系是切也切不断的。数的世界在自然数的基础上,出现了有理数(整数、分数)、无理数等实数,甚至还扩张到了复数。这一系列中最大的金字塔就是“欧拉公式”。想要一睹“虚数”世界的风景,还是要先看看欧拉公式。
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为什么数的世界在不断扩张呢?这是“数”与“计算”之间的关系所致,从中我们看出了其存在的必然性。
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整数(正整数、0、负整数)
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“0”这个数字意味着在数量上是空的。“重量为0”表示没有重量,“两人的体重差为0”表示两人的体重相等。
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“0”的概念是在古埃及、古希腊以及古印度的数学中确立起来的。这个概念一被确立起来,在它前面的“负数”也就浮出了水面。
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要满足“3+□=0”,□中的数字应该是-3这个负整数(用□表示的算式是方程式)。
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古代的人们原本只认同正整数和0的“数的世界”,但是在加法的“演算”中,他们发现还需要有“负整数”。
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“正整数”“0”和“负整数”统称为“整数”。
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有理数(分数)
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同样地,想到“整数”和“乘法”,人们又发现必须要有“有理数(分数)”的存在。
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能满足“3×□=-5”的□中的数字,在整数的世界里可是找不到的。这个“□=-5/3”是一个分数。
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顺便告诉大家,“有理数”这种说法是由英文rational number翻译而来的,但它似乎是翻译上的一个失误。ratio是“比”的意思,所以直译过来应该是“比数”的意思。
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无理数
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接着想到了“相同的数字相乘”,发现又需要有新的数了。
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“□×□=2”,满足这个算式的□在整数和分数中都找不到。□是1.41421356……用2表示。这种数称为“无理数”,小数点以后的部分无限不循环。
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实数
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有理数(包括整数和分数)和无理数共同构成的数的世界称为“实数”。
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想要对我们身边的事物和现象加以说明,有了实数的世界就足够了。黄金比例(1.618……)、白银比例(1.414……)、圆周率(3.141……)、纳皮尔常数e(2.718……)等著名的无理数都存在于实数的世界。
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不真实存在的“虚数”
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方程式“□×□=2”可以在实数中找到□的数值,可是问题在于“□×□=-2”的方程式。满足这个方程式中□的数,在实数的世界里是不存在的。
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这种新的“虚数”从发现到被认同经历了很长的一段时间。16世纪时,意大利数学家卡尔达诺(1501~1576)在解一个三次方程式时,初次导入了虚数的概念。
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