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啊，这不就是圆吗？当然不是，它是一个有65 536条边的正多边形。不是吗？
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欧几里得与阿基米德敏锐地发现，无论它是圆还是边长极短、边的数目极大的多边形，这些都不重要，关键在于这两个图形的面积非常接近，两者之间的差别不会产生任何影响。通过不断重复上述操作，圆与多边形之间的面积之差越来越小，最后趋于“穷竭”。圆的确是曲线构成的，但是，如果我们取其中很短的一段，它会非常接近于直线，就像在地球表面取一小片土地，其非常接近于平面一样。
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记住：局部是直线，整体是曲线。
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我们还可以这样考虑，即从一个非常高的高度快速接近圆。起初，我们可以看到整个圆：
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然后，我们只能看到一段弧线：
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接下来，我们看到的是一段更短的弧线：
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随着我们离圆越来越近，视野变得越来越小，到最后我们看到的弧线与直线已经非常接近，几乎没有区别了。如果一只蚂蚁在圆上爬行，它只能看到身边很小的范围，它会以为自己是在一条直线上爬行。在地球表面上生活的人也一样，认为自己位于一个平面之上（除非他非常聪明，知道观察由远而近、逐渐从地平线上露出来的物体）。
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微积分与牛顿
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接下来，我要教大家关于微积分的知识。准备好了吗？首先，我们要感谢艾萨克·牛顿。他告诉我们，圆的研究并没有特别大的难度。所有的平滑曲线，只要我们无限接近地观察，都跟直线非常相似。只要没有尖角，无论这条曲线如何弯曲盘旋，都无伤大雅。
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发射导弹时，导弹会以下图所示的轨迹运动：
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导弹的运动轨迹是一条抛物线，先上升，然后下降。在万有引力的作用下，所有的运动轨迹都会呈曲线形并接近地面，这是物理学的一个基本事实。但是，如果我们取非常短的一段并靠近观察，这条曲线就会变成下图所示的形状：
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再靠近一些，就会变成这样：
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上图中的导弹运动轨迹在肉眼看来就像一条直线，以一定的倾斜角度向上运动。越靠近观察，曲线就越接近直线。
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接下来是观念上的一个飞跃。牛顿说，好吧，让我们继续——把视野缩小到无限小，小到无法计量的程度，但不是零。这时候，我们研究的就不是一段很短的时间内导弹的运动轨迹了，而是某一个时点的情况。本来接近于直线的运动轨迹直接变成直线了，牛顿把这条直线的倾斜度叫作流数（fluxion），我们现在称之为导数（derivative）。
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阿基米德不愿意完成这种飞跃。他知道，多边形的边越短，就越接近于圆，但是，他绝对不会认为圆其实就是一个有无穷多条边而边长极短的多边形。
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与牛顿同时代的人中，也有人不愿意凑这个热闹，反对者中名气最大的是乔治·贝克莱（George Berkeley）。贝克莱用充满嘲讽的语气贬低牛顿提出的无限小这个概念：“这些流数是什么呢？其实就是迅速消逝的增量的速度。那么这些迅速消逝的增量又是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小的量，什么都不是。难道我们不能称它们是‘逝去量的鬼魂’吗？”遗憾的是，这一段逸事在现代数学文献中却没有记载。
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