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1701023100 啊,这不就是圆吗?当然不是,它是一个有65 536条边的正多边形。不是吗?
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1701023102 欧几里得与阿基米德敏锐地发现,无论它是圆还是边长极短、边的数目极大的多边形,这些都不重要,关键在于这两个图形的面积非常接近,两者之间的差别不会产生任何影响。通过不断重复上述操作,圆与多边形之间的面积之差越来越小,最后趋于“穷竭”。圆的确是曲线构成的,但是,如果我们取其中很短的一段,它会非常接近于直线,就像在地球表面取一小片土地,其非常接近于平面一样。
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1701023104 记住:局部是直线,整体是曲线。
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1701023106 我们还可以这样考虑,即从一个非常高的高度快速接近圆。起初,我们可以看到整个圆:
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1701023111 然后,我们只能看到一段弧线:
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1701023116 接下来,我们看到的是一段更短的弧线:
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1701023121 随着我们离圆越来越近,视野变得越来越小,到最后我们看到的弧线与直线已经非常接近,几乎没有区别了。如果一只蚂蚁在圆上爬行,它只能看到身边很小的范围,它会以为自己是在一条直线上爬行。在地球表面上生活的人也一样,认为自己位于一个平面之上(除非他非常聪明,知道观察由远而近、逐渐从地平线上露出来的物体)。
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1701023123 微积分与牛顿
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1701023125 接下来,我要教大家关于微积分的知识。准备好了吗?首先,我们要感谢艾萨克·牛顿。他告诉我们,圆的研究并没有特别大的难度。所有的平滑曲线,只要我们无限接近地观察,都跟直线非常相似。只要没有尖角,无论这条曲线如何弯曲盘旋,都无伤大雅。
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1701023127 发射导弹时,导弹会以下图所示的轨迹运动:
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1701023132 导弹的运动轨迹是一条抛物线,先上升,然后下降。在万有引力的作用下,所有的运动轨迹都会呈曲线形并接近地面,这是物理学的一个基本事实。但是,如果我们取非常短的一段并靠近观察,这条曲线就会变成下图所示的形状:
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1701023137 再靠近一些,就会变成这样:
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1701023142 上图中的导弹运动轨迹在肉眼看来就像一条直线,以一定的倾斜角度向上运动。越靠近观察,曲线就越接近直线。
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1701023144 接下来是观念上的一个飞跃。牛顿说,好吧,让我们继续——把视野缩小到无限小,小到无法计量的程度,但不是零。这时候,我们研究的就不是一段很短的时间内导弹的运动轨迹了,而是某一个时点的情况。本来接近于直线的运动轨迹直接变成直线了,牛顿把这条直线的倾斜度叫作流数(fluxion),我们现在称之为导数(derivative)。
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1701023146 阿基米德不愿意完成这种飞跃。他知道,多边形的边越短,就越接近于圆,但是,他绝对不会认为圆其实就是一个有无穷多条边而边长极短的多边形。
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1701023148 与牛顿同时代的人中,也有人不愿意凑这个热闹,反对者中名气最大的是乔治·贝克莱(George Berkeley)。贝克莱用充满嘲讽的语气贬低牛顿提出的无限小这个概念:“这些流数是什么呢?其实就是迅速消逝的增量的速度。那么这些迅速消逝的增量又是什么呢?它们既不是有限量,也不是无限小的量,什么都不是。难道我们不能称它们是‘逝去量的鬼魂’吗?”遗憾的是,这一段逸事在现代数学文献中却没有记载。
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