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然而，微积分的确有效。如果围绕头部摆动一块石头，在突然放手后，石头就会以一个恒定的速度飞出去，运动轨迹呈直线形[5]，方向则正好是根据微积分基本公式计算的放手时石头的运动方向。这是牛顿的另一个惊人发现：运动物体会做直线运动，除非该物体受到其他力的作用，才会偏离原来的方向。这也是我们习惯于线性思维的原因之一：我们对时间与运动的理解，是在生活中观察到的各种现象的基础上形成的。甚至在牛顿提出他的那些定律之前，我们就已经知道物体会沿直线运动，除非有外力改变这种状况。
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永远无法到达的冰激凌商店
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对牛顿的批评是有道理的。从现代数学的严密性来看，他提出的微积分公式谈不上完美。问题就出在无限小这个概念上，这是几千年来数学家们面对的一个令人多少有些尴尬的问题。公元前5世纪，希腊爱利亚学派有一位名叫芝诺（Zeno）的哲学家，尤为擅长就物理世界提出一些看似无知的问题，但是这些问题总会酿成哲学上的大混乱。这一次，又是他率先发难。
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芝诺提出的一个悖论非常有名，大意就像我下面举的这个例子。我决定步行去商店买冰激凌，当然，在我走完一半的路程之前，我不可能到达商店。在我走完一半路程之后，如果我不接着走完剩下路程的一半，我还是无法到达商店。每次我都要先走完剩下路程的一半，才有可能到达商店，如此循环下去。我可能与冰激凌商店越来越接近，但是，无论我走完多少个半程，我永远也无法到达冰激凌商店。我与我的巧克力冰激凌之间总会有一段极小但不等于零的距离，因此，芝诺断言步行去商店买冰激凌是无法实现的。芝诺的这个悖论适用于所有的目的地：步行穿过大街，迈出一步，等等。也就是说，所有的运动都是不可能实现的。
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据说犬儒学派的第欧根尼（Diogenes the Cynic）驳斥了芝诺悖论，他站起来走到了房间的对面。这个举动完美地证明芝诺眼中那些不可能完成的运动事实上是能够完成的，那么，芝诺的证明肯定出了问题。但是，问题出在哪儿呢？
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我们可以利用数字把商店之行分成若干部分。我们得先走一半路程，然后走剩下路程的一半，也就是全程的1/4，此时，还剩下全程的1/4。再之后剩下的是1/8、1/16、1/32……。所以，走向商店的过程就是：
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1/2+1/4 +1/8 +1/16+1/32 +……
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把这个数列的前10项相加，得数约等于0.999。加总前20项，得数就与0.999 999更为接近。换言之，我们与商店的距离非常非常近。但是，无论我们加多少项，都无法得到1。
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芝诺悖论与另一个难题非常相似：循环小数0.999 99……是否等于1？
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我见过有人因为这个问题都快要挥拳相向了，在《魔兽世界》粉丝主页、艾茵·兰德论坛等网站，人们也就这个问题争论不休。关于芝诺悖论，我们的自然反应是“我们当然能买到冰激凌”。但是，在我们讨论的这个问题上，直觉却给出了不同的答案。如果我们一定要问出答案，大多数人会说“0.999 9……不等于1”。毫无疑问，这个循环小数看上去不等于1，要小一点儿，但两者的差不是很大。就像例子中那位买不到冰激凌的家伙一样，这个循环小数与1越来越接近，但可能永远也无法等于1。
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不过，无论哪里的数学老师，包括我本人，都会告诉他们：“你错了，这个循环小数就是等于1。”
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那么，我怎么才能说服他们呢？下面这个方法效果不错。大家都知道
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0.333 33……=1/3
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两边同时乘以3
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0.333 33……×3=1/3×3
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我们会发现
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0.999 99……=1
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如果这样还不能说服你，那么我们把0.999 99……乘以10，也就是把小数点向右移一位
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10×0.999 99……=9.999 99……
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再把讨厌的小数从两边减去
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10×0.999 99……–1×0.999 99……=9.999 99……–0.999 99……
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等式的左边就是9×0.999 99……，因为一个数的10倍减去该数就是这个数的9倍。而等式的右边，我们成功地消除了讨厌的循环小数，只剩下9。因此，我们得到
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9×0.999 99……=9
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如果一个数的9倍是9，那么这个数只能是1，不是吗？
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通常，这个证明过程可以说服别人。但是，坦率地讲，这个证明并不完美。它不能让人们彻底消除疑虑去相信0.999 99……等于1，而是迫使人们接受一个代数关系：“你们知道1/3就是0.333 3……吧？难道不是吗？”
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