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1701024185 即可表示成分数m/n的形式,其中m、n是整数。我们还可以写出最简分数的形式,也就是说,如果分子与分母有公因数,就同时除以该公因数,分数保持不变。既然5/7的形式更为简单,我们就没有理由把这个分数写成10/14的形式。因此,该假设可以下述方式重新表述:
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1701024187 假定H:2的平方根等于m/n,其中m与n为没有公因数的整数。
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1701024189 也就是说,m与n不可能同时为偶数。如果两者同时为偶数,就说明它们有公因数2,此时,跟化简10/14这个分数一样,我们可以把分子与分母同时除以2,该分数保持不变。简言之,分子与分母同为偶数的分数不是最简分数。因此,F(m与n同为偶数)是不成立的。
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1701024195 既然,等式两边同时平方,我们可以得到。因此,m2是一个偶数,从而说明m是偶数。一个数字是偶数的条件是该数字可以写成整数与2的乘积的形式,因此,我们可以把m写成2k的形式,k为整数(事实上,我们就是用这种形式来表示偶数的),即。等式两边同除以2,得到。
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1701024197 上述代数运算有什么意义呢?其实就是证明n2是k2的2倍,因此n2是一个偶数。如果n2是偶数,n就与m一样,也是一个偶数,这说明F是一个真命题!通过假定H为真,我们得到一个错误的甚至是荒谬的结果:F既是真命题,又是假命题。因此,H必然是错误的,也就是说,2的平方根不是有理数。通过假定2的平方根是有理数,我们成功地证明它并不是有理数。这个方法的确很奇怪,但却行之有效。
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1701024199 我们可以把零假设显著性检验视为一种模糊的反证法:
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1701024201 ·假定零假设H为真;
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1701024203 ·根据H,得到某个结果O的可能性非常小(比如,低于费舍尔设定的0.05这个临界值);
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1701024205 ·但O是可以观察到的事实;
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1701024207 ·因此,H成立的可能性非常小。
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1701024209 换句话说,这不是归谬法,而是“归为不可能法”(reductio ad unlikely)。
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1701024211 这方面的一个经典例子来自于18世纪的天文学家、牧师约翰·米歇尔(John Michell),他是最先将统计学方法应用于天体研究的学者之一。几乎所有的文明都观察到,在金牛座的一个角落有一个昏暗的星团。纳瓦霍人把这个星团称作“Dilyehe”,意指“闪亮的图形”;毛利人把它称作“Matariki”,即“神的眼睛”;在古罗马人的眼中,它是一串葡萄;日本人认为它是“Subaru”(现在,大家知道“斯巴鲁”的标志为什么是6颗星了吧);美国人则把它叫作“Pleiades”(昴星团)。
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1701024213 几个世纪以来,人们一直在观察昴星团,关于它的神话传说不断,但是都无法回答最基本的科学问题:昴星团真的是一个星团吗?这些星球彼此间是否存在无法测算的距离,而从地球看过去,它们却正好排列在同一个方向上?在我们的视觉框架中随机分布的光点会呈现出下图所示的情形:
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1701024218 是否可以看到有些光点集中在一起?这样的情况并没有出乎我们的意料,因为总会有一些星球正好位于另外一些星球的上方。如何断定昴星团中的星球排列没有出现上述情况呢?GVT指出:状态非常稳定的组织后卫的投篮命中率不会有明显的变化,但有时也会连中5球。同样,星球的排列也可能出现类似的巧合。
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1701024220 如果昴星团的星球排列如下图所示:
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1701024225 这些星球没有明显地簇拥成团,这种情况反而说明它们并不是随机分布的。在裸眼看来,这幅图似乎“随机程度更高”,但事实并非如此,它说明这些光点有拒绝排列在一起的倾向性。
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1701024227 因此,尽管上述星球看上去明显构成一个星团,但是我们不应该认为它们在太空中的距离真的很近。反之,如果天空中一组星球间的距离非常接近,我们就应该认为这不一定是偶然现象。米歇尔指出,如果星球在太空中随机分布,那么有6颗星球均匀排列、肉眼看上去与昴星团相似的概率非常小。根据他的计算,这个概率大约为1/500 000。但是,昴星团的那些星球就在天空中紧密地簇拥在一起,像一串葡萄一样。米歇尔断言,只有傻瓜才会相信这是一种偶然现象。
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1701024229 费舍尔对米歇尔的研究成果表示认同,并明确指出米歇尔的论证方法与经典反证法两者之间的相似之处:
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1701024231 从逻辑上讲,该结论的可靠程度等同于一个简单析取(disjunction):要么极不可能的事情真的发生了,要么随机分布理论是不正确的。
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1701024233 米歇尔给出的证明令人信服,他得出的结论也是正确的:昴星团不是一种巧合现象,而真的是一个星团,但该星团是由数百颗年轻的恒星构成的,而不是仅仅包含肉眼可见的那6颗星。我们还可以观察到很多与昴星团类似的星团,在这些星团中,恒星紧密地簇拥在一起,密集程度之高远远超过运气使然的范围。这样的事实充分说明,这些恒星并不是随机分布的,而是太空中某种真实的物理作用把这些恒星聚拢到了一起。
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