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上图中的缝衣针是我们到目前为止遇到的最长的针，长度为5。这根针被折弯了两次，首尾相连后构成了一个三角形。三角形的三条边长分别为1、2、2，可能相交的木板条缝数的期望值分别为p、2p、2p。根据期望值的相加性，整根针可能相交的木板条缝数的期望值是三条边的总和，即：
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p+2p+2p=5p
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换言之，对于折弯的缝衣针而言，“与长度为N的缝衣针相交的木板条缝数的期望值是Np”这一结论也成立。
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接下来，我们再讨论一下下图所示各种形状的缝衣针的情况。
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我们在前面见过这些图形。2 000年前，阿基米德与欧多克斯在提出穷竭法时，就使用了这些图形。最后一幅图看上去像一个直径为1的圆，但实际上它是由65 536根短缝衣针构成的多边形。我们的肉眼无法看出两者之间的不同，当然，地板也不会知道它们不是同一形状。因此可以说，与直径为1的圆相交的木板条缝数的期望值，约等于与65 536边形相交的木板条缝数的期望值。根据“折针”规则，这两个期望值都是Np，其中N是多边形的周长。那么，这个多边形的周长是多少呢？应该非常接近于圆的周长。圆的半径为1/2，它的周长是π，所以与圆相交的木板条缝数的期望值是πp。
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这种把问题复杂化的方法，大家认为怎么样？问题变得越来越复杂，越来越具有一般性，但是否有人认为我们还没有解决最基本的问题：p到底是多少？
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大家可能都没有想到，我们刚才已经算出p的值了。
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与圆相交的木板条缝数到底是多少？我们把缝衣针折成圆形之后，在由硬币变成缝衣针时丧失的对称性又被我们找回来了。如此一来，这个难题就变得简单多了。无论圆落在什么位置都没有关系，因为与它相交的木板条缝数一定是2。
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因此，相交木板条缝数的期望值就是2。我们知道该期望值还等于πp，于是，我们算出p=2/π，这跟布封的计算结果不谋而合。实际上，上述证明过程适用于所有缝衣针，无论它是多边形还是弯曲的，相交木板条缝数的期望值都是Lp，其中L是以木板条宽度为计量单位时缝衣针的长度。即使把一人份意大利面扔到地板上，想知道其中一根面条会骑在几条地板缝上，我也能准确地告诉你它的期望值是多少。这就是布封投针问题的一般形式，数学家们开玩笑说这是“布封的面条问题”。
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海洋与炸药
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巴比埃的证明让我想起代数几何学家皮埃尔·德利涅（Pierre Deligne）写给他的老师亚历山大·格罗腾迪克（Alexander Grothendieck）的信中的一句话：“似乎什么也没发生，但到最后，一个极不平凡的定理却出现在我们面前。”
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人们在挖隧道时使用的炸药杀伤力越来越强，在外行人的眼中，数学家就跟这些挖隧道的人一样：他们不断地使用越来越有效的工具，越来越深入地探究未知世界。借助有效的工具确实是一种好方法，不过格罗腾迪克的看法却不同。20世纪六七十年代，这位数学家重新阐释了理论数学的意义，他指出：“在我眼中，我们准备探究的未知事物就像泥土或者坚硬的泥灰岩，难以穿透……大海悄无声息，似乎没有发生任何变化，也没有任何物体改变位置，海水离我们是那么遥远，我们几乎听不见海浪的声音……但到最后，海水会清除一切阻碍。”
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未知事物就是海底的石头，阻碍我们前进的步伐。我们可以反复在岩缝中填上炸药并引爆，直到炸碎这块岩石。布封进行的复杂微积分计算，就与这种方法十分相似。或者，我们也可以采用一种深思熟虑的方法，逐渐加深我们的理解，到最后，就像岩石被平静的海水淹没一样，曾经让我们一筹莫展的难题在我们面前迎刃而解。
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当前，数学研究所采用的方法，就是坐禅式冥想与炸药爆破二者相互作用并取得微妙平衡的产物。
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数学家与精神病人
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1860年，21岁的巴比埃发表了他对布封定理的证明方法，那时他是巴黎高等师范学院的一名有前途的学生。1865年，因为精神问题，他离开了巴黎，没有留下联络方式。从那以后，没有一位数学家见过他。直到1880年，他的一位老师约瑟夫·波特兰（Joseph Bertrand）在一家精神病院里发现了巴比埃。格罗腾迪克于20世纪80年代离开学术界，目前在比利牛斯山脉过着塞林格式的隐居生活。没有人知道他现在正在研究什么数学问题，或者他是否还在做数学研究，有人说他以牧羊为生。
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关于数学，人们普遍持有一种错误的观念，觉得数学会令人发疯，或者数学本身就非常疯狂。前文中讲的那个故事正好佐证了这种想法。戴维·福斯特·华莱士（David Foster Wallace）是数学背景最深厚的现代小说家（他曾经中止小说创作，就无限集合论写了一本厚厚的书）。华莱士把这种错误的观念描述成“数学情节剧”，主人公是“普罗米修斯–伊卡洛斯式的人物，他最突出的天赋就是傲慢自大，这也是他致命的缺陷”。《美丽心灵》（A Beautiful Mind）、《证据》（Proof）与《圆周率》（π）等电影把数学视为困难与逃避现实的代名词。斯科特·特罗（Scott Turow）在畅销悬疑小说《推定无罪》（Presumed Innocent）中设置了一个峰回路转的情节：疯狂的凶手竟然是主角的妻子，她是一位数学家。（小说的悬疑情节来自女主角对一种扭曲性别观的追求，极其明显地暗示了凶手之所以如此疯狂，是因为她作为一名女性竟然无视困难去钻研数学。）最近，这个故事又摇身一变，在小说《夜色中狗的离奇逸事》（The curious Incident of the Dog in the Night-Time）中粉墨登场：数学天赋成了孤独症的一个致病因素。
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华莱士不认同这种对数学家心理状况的描述，我与他的观点一致。在现实世界中，数学家是一群普普通通的人，过着平常的生活。他们的确会在困难重重的抽象世界里孤身奋战，但这样的状况并不是经常发生。数学家不会过度用脑而使自己崩溃，相反，数学研究往往会使他们的心理更加健康。我发现，在极端情绪出现时，数学问题往往具有最强的安抚作用，可以消除某些心理疾病。与冥想一样，数学也可以让我们直接接触宇宙，将我们置身于广袤的天地间。如果不让我钻研数学，我反倒有可能发疯。
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想办法促使累积奖金向下分配
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我们还是回到马萨诸塞州，接着谈彩票问题。
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参与“Cash WinFall”游戏的人越多，利润就会越少；每多一个人大量购买彩票，就会多一个人瓜分奖金。杰拉德·塞尔比告诉我，“随机策略”团队的卢玉然（音）有一次提出了一个建议。卢认为，在累积奖金向下分配时，“随机策略”团队与塞尔比团队应该轮流参与游戏，以确保每个团队都有一个更大的利润空间。塞尔比认为这个提议的意思是，“你是大户，我也是大户，但是我们无法阻止别的玩家分走我们的利润”，而通过合作，至少塞尔比团队和“随机策略”团队可以互相钳制。这个提议很有道理，塞尔比却拒绝接受。他觉得利用游戏中的巧合是一件心安理得的事，因为游戏规则对所有玩家一视同仁。但是，如果同其他玩家合谋，在他看来就是作弊，即使合谋的内容并不一定会破坏彩票游戏的规则。因此，这三个团队可以说是“三足鼎立”。由于大户们在每次开奖前都会购买120万~140万张彩票，因此塞尔比估计，在奖金向下分配日，彩票价值的期望值仅比彩票的价格高出15%。
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