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在第十章所介绍的懦夫博弈中，该博弈中有两个纯策略纳什均衡结果：（进攻，后退）和（后退，进攻），即一方进，一方退（见表13.4）。然而，很多人没想到的是，该博弈会有一个混合策略均衡，那就是双方会以某种概率选择进或者是退。
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表13.4 懦夫博弈
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在此，我们先把懦夫博弈进行一个更一般化的表述（见表13.5）。
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表13.5 懦夫博弈的一般表达式
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表13.5中，c＞b＞0＞a。假使参与者甲采取T的概率为p（且采取F的概率为1-p），那么，甲采取T的期望盈利为ap＋c（1-p），采取F的期望盈利为b（1-p）。由于在参与者甲的混合策略最优反应中，两个纯策略必须使他具有相同的期望盈利。因此，p必须满足：
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ap＋c（1-p）＝b（1-p）
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从而可以得到， 。而且，由相同的含义，如果参与者甲以 概率取T，那么任何混合策略都是参与者乙的最优选择。因此，我们可以得到：
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该博弈中存在一个混合策略均衡，其中两个参与者采取完全一样的策略，即每一个参与者都以 概率取T。这时，两个参与者的期望收益相同，均为 ，该数值在两个纯策略收益0和c之间。
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在上一个博弈中，a＝-10，b＝5，c＝10，因此，每只鸡将以概率1/3采取进攻，以概率2/3采取后退，并且每只鸡的期望盈利是10/3。
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由于这个博弈没有唯一的均衡点，而相互试探也是要花费时间成本的，因此常常可以通过合作达成“共识”来解决这个问题。合作的方式由最后总收益的大小决定[2] ：当2b＞c时，双方都选择F，这时参与者都得到盈利b，虽然较少，但是总比没有或者失去强；当bc/2时，则可通过“合理补偿”作为谈判的基本，最后形成“补偿换退让”的协议。换言之，如果参与者的一方选择了退让，那么通过协议，他将得到强硬一方的补偿，补偿后双方的实际盈利相同，为c/2。
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4.充足的思考是否必要
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在本章的开头，我们提到了点球大战。这里，我们重新分析一下点球大战（见表13.6）。
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表13.6 点球大战
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当我们使用混合策略的时候，在每一次射门时，我们只可能选择左边或者右边，这在某种程度上类似于纯策略的博弈。但是不同的是，虽然最后的选择只有一个，但我们选择每个选项都有一个概率的因素，这样会让对手摸不到头脑。而当我们将一连串球射完，我们的概率曲线也就可以很好地呈现出来了。
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同时，我们换位思考，当对方选择纯策略的时候，我们可以很好地选择我们的策略，并由此获得成功。但是，当对方选择了混合策略的时候，认真仔细的思考是否还有必要呢？我们即使想破脑袋也没用，因为我们最好的选择就是随便选择一个策略，预期的期望收益都是一样的。
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那么我们连续和多个守门员玩射门游戏的时候，又该怎么选择呢？其实这个时候，思维的成本就更低了。因为守门员互相之间是不了解的，对我的射门习惯和历史也是不了解的，我完全可以只选择左边，或者只选择右边。这样我的期望收益依然和原来是一样的。但是，思考的成本却大大降低了。所以，当只能选择混合策略的时候，就不要思考那么多了。笨的人总是祈求上帝的保佑，而聪明的人选择努力去计算成功的概率。
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我们可以把这个思想发扬光大。每天上班的时候，你是不是总是在为堵车而苦恼。从家里到工作的地点，总会有很多的路径，到底选择哪一条才不会堵车呢。这时有些人会想，大多数人应该会选择近一些的道路，所以，选择远一点的道路应该不会堵车，但是如果别人也比较聪明，想到了这一点，那么此时，情况往往就变得更糟糕了。我们不仅选择了更远的道路，而且还被堵在了路上。所以，如果你相信他人也是足够聪明的，那么混合策略就是你最好的选择。你就随便选好了，想那么多，又有什么用呢？
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考考你
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表13.7是皇帝与功臣博弈的战略表达式，分析三种不同情况下的均衡结果。