打字猴:1.70104065e+09
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1701040651 当集合X上规定了一个度量d后,称为度量空间,记作(X,d).
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1701040653 例4 记Rn={(x1,x2,…,xn)|xi∈R,i=1,…,n}.规定Rn上的度量d为:
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1701040658 不难验证d满足(1),(2),(3).记En=(Rn,d),称为n维欧氏空间.
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1701040660 设(X,d)是一个度量空间,我们来规定X的一个拓扑.
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1701040662 设x0∈X,ε是一正数,称X的子集
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1701040664      B(x0,ε):={x∈X|d(x0,x)<ε}
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1701040666 为以x0为心,ε为半径的球形邻域.
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1701040668 引理 (X,d)的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集.
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1701040671 证明 设U=B(x1,ε1)∩B(x2,ε2).∀x∈U,则εi-d(x,xi)>0(i=1,2).记εx=min{ε1-d(x,x1),ε2-d(x,x2)}(图1-1),不难验证B(x,εx)⊂U.于是
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1701040676 图1-1
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1701040678 规定X的子集族τd={U|U是若干个球形邻域的并集}.
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1701040680 命题1.1 τd是X上的一个拓扑.
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1701040682 证明 τd满足拓扑公理(1)和(2)是明显的.下面验证τd满足拓扑公理(3).
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1701040685 设U,U′∈τd,记则
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1701040691 根据引理,对任何再由拓扑公理(2),得出U∩U′∈τd. ▎
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1701040693 称τd为X上由度量d决定的度量拓扑.每个度量空间都自然地看成具有度量拓扑的拓扑空间,从而欧氏空间En是拓扑空间(其度量拓扑称为欧氏拓扑).从这个意义上讲,拓扑空间是欧氏空间和度量空间的推广.三条拓扑公理也正是从度量空间的开集所具有的最基本的性质中抽象出来的.
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1701040695 1.3 拓扑空间中的几个基本概念
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1701040697 下面要讲的几个基本的拓扑概念在欧氏空间和度量空间中都已出现过,但现在用开集概念来规定它们.
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1701040699 1.闭集
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