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当集合X上规定了一个度量d后，称为度量空间，记作（X，d）．
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例4 记Rn＝｛（x1，x2，…，xn）｜xi∈R，i＝1，…，n｝．规定Rn上的度量d为：
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不难验证d满足（1），（2），（3）．记En＝（Rn，d），称为n维欧氏空间．
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设（X，d）是一个度量空间，我们来规定X的一个拓扑．
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设x0∈X，ε是一正数，称X的子集
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B（x0，ε）：＝｛x∈X｜d（x0，x）＜ε｝
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为以x0为心，ε为半径的球形邻域．
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引理 （X，d）的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集．
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证明 设U＝B（x1，ε1）∩B（x2，ε2）．∀x∈U，则εi－d（x，xi）＞0（i＝1，2）．记εx＝min｛ε1－d（x，x1），ε2－d（x，x2）｝（图1-1），不难验证B（x，εx）⊂U．于是
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图1-1
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规定X的子集族τd＝｛U｜U是若干个球形邻域的并集｝．
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命题1.1 τd是X上的一个拓扑．
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证明 τd满足拓扑公理（1）和（2）是明显的．下面验证τd满足拓扑公理（3）．
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设U，U′∈τd，记则
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根据引理，对任何再由拓扑公理（2），得出U∩U′∈τd． ▎
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称τd为X上由度量d决定的度量拓扑．每个度量空间都自然地看成具有度量拓扑的拓扑空间，从而欧氏空间En是拓扑空间（其度量拓扑称为欧氏拓扑）．从这个意义上讲，拓扑空间是欧氏空间和度量空间的推广．三条拓扑公理也正是从度量空间的开集所具有的最基本的性质中抽象出来的．
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1.3 拓扑空间中的几个基本概念
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下面要讲的几个基本的拓扑概念在欧氏空间和度量空间中都已出现过，但现在用开集概念来规定它们．
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1．闭集