1701040650
1701040651
当集合X上规定了一个度量d后,称为度量空间,记作(X,d).
1701040652
1701040653
例4 记Rn={(x1,x2,…,xn)|xi∈R,i=1,…,n}.规定Rn上的度量d为:
1701040654
1701040655
1701040656
1701040657
1701040658
不难验证d满足(1),(2),(3).记En=(Rn,d),称为n维欧氏空间.
1701040659
1701040660
设(X,d)是一个度量空间,我们来规定X的一个拓扑.
1701040661
1701040662
设x0∈X,ε是一正数,称X的子集
1701040663
1701040664
B(x0,ε):={x∈X|d(x0,x)<ε}
1701040665
1701040666
为以x0为心,ε为半径的球形邻域.
1701040667
1701040668
引理 (X,d)的任意两个球形邻域的交集是若干球形邻域的并集.
1701040669
1701040670
1701040671
证明 设U=B(x1,ε1)∩B(x2,ε2).∀x∈U,则εi-d(x,xi)>0(i=1,2).记εx=min{ε1-d(x,x1),ε2-d(x,x2)}(图1-1),不难验证B(x,εx)⊂U.于是
1701040672
1701040673
1701040674
1701040675
1701040676
图1-1
1701040677
1701040678
规定X的子集族τd={U|U是若干个球形邻域的并集}.
1701040679
1701040680
命题1.1 τd是X上的一个拓扑.
1701040681
1701040682
证明 τd满足拓扑公理(1)和(2)是明显的.下面验证τd满足拓扑公理(3).
1701040683
1701040684
1701040685
设U,U′∈τd,记则
1701040686
1701040687
1701040688
1701040689
1701040690
1701040691
根据引理,对任何再由拓扑公理(2),得出U∩U′∈τd. ▎
1701040692
1701040693
称τd为X上由度量d决定的度量拓扑.每个度量空间都自然地看成具有度量拓扑的拓扑空间,从而欧氏空间En是拓扑空间(其度量拓扑称为欧氏拓扑).从这个意义上讲,拓扑空间是欧氏空间和度量空间的推广.三条拓扑公理也正是从度量空间的开集所具有的最基本的性质中抽象出来的.
1701040694
1701040695
1.3 拓扑空间中的几个基本概念
1701040696
1701040697
下面要讲的几个基本的拓扑概念在欧氏空间和度量空间中都已出现过,但现在用开集概念来规定它们.
1701040698
1701040699
1.闭集
[
上一页 ]
[ :1.70104065e+09 ]
[
下一页 ]