打字猴:1.7010407e+09
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1701040701 定义1.2 拓扑空间X的一个子集A称为闭集,如果Ac是开集.
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1701040703 也就是说,闭集就是开集的余集,反过来开集一定是一个闭集的余集.例如在离散拓扑空间中,任何子集都是开集,从而任何子集也都是闭集;平凡拓扑空间X中,只有两个闭集:X=∅c和∅=Xc.在(R,τf)中,闭集或是X,或为有限集;而(R,τc)中的闭集是X或可数集.
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1701040705 命题1.2 拓扑空间的闭集满足:
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1701040707 (1)X与∅都是闭集;
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1701040709 (2)任意多个闭集的交集是闭集;
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1701040711 (3)有限个闭集的并集是闭集.
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1701040713 证明 这是由三条拓扑公理推出的.(2)和(3)分别由拓扑公理(2)和(3)应用De Morgan公式推出.(1)是因为∅和X都是开集. ▎
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1701040715 2.邻域、内点和内部
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1701040718 定义1.3 设A是拓扑空间X的一个子集,点x∈A.如果存在开集U,使得x∈U⊂A,则称x是A的一个内点,A是x的一个邻域.A的所有内点的集合称为A的内部,记作
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1701040721 命题1.3 (1)若A⊂B,则
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1701040724 (2)是包含在A中的所有开集的并集,因此是包含在A中的最大开集;
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1701040727 (3)是开集;
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1701040736 证明 (1)若x是A的内点,取开集U使得x∈U⊂A;因为A⊂B,所以U⊂B,于是x也是B的内点,这样,A的内点都是B的内点,
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1701040743 (2)记{Uα|α∈}是包含在A中的所有开集构成的子集族.根据定义,则x为A的内点).因此反之,若由定义,x必属于某个Uα,从而
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1701040748 (3)由(2)知,是开集.若则A也是开集;反之,当A是开集时,由(2)推出
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