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(4)对(A∩B)⊂A用(1),得同理有得到对用(1),得到(等号根据(3)).
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(5)因为是包含在A∪B中的开集,根据结论(2),有 ▎
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用归纳法,从(4)可推出但对无穷多个子集的交集相应结果不成立.一般地(5)不能把包含号改为等号.请读者自己找出反例.
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3.聚点与闭包
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定义1.4 设A是拓扑空间X的子集,x∈X.如果x的每个邻域都含有A{x}中的点,则称x为A的聚点.A的所有聚点的集合称为A的导集,记作A′.称集合为A的闭包.
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由定义不难推出:的任一邻域与A都有交点.
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闭包与内部这两个概念有密切关系,具体表现为
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命题1.4 若拓扑空间X的子集A与B互为余集,则与互为余集.
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证明有邻域与A不相交
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x有邻域包含在B中
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x是B的内点,
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因此 ▎
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命题1.5 (1)若A⊂B,则
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(2)是所有包含A的闭集的交集,所以是包含A的最小的闭集;
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(3)是闭集;
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