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1701040806 证明留给读者.(可用命题1.3的结果,或用其方法.)
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1701040808 聚点的概念在欧氏空间中早已出现.要注意现在的推广概念在意义上已发生一些改变.欧氏空间中集合A的聚点的近旁确实聚集了A的无穷多个点,因此有限集是没有聚点的.而在拓扑空间中则不然.例如设X={a,b,c},规定拓扑为τ={X,∅,{a}},则当A={a}时,b和c都是A的聚点,因为b或c的邻域只有X一个,它包含a.a不是A的聚点,因为A{a}=∅.
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1701040811 拓扑空间X的子集A称为稠密的,如果如果X有可数的稠密子集,则称X是可分拓扑空间.
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1701040813 例如,(R,τf)是可分的,事实上它的任一无穷子集都是稠密的,有理数集Q是它的一个可数稠密子集;(R,τc)不是可分的,因为它的任一可数集都是闭集,不可能稠密.
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1701040815 4.序列的收敛性
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1701040817 在数学分析中,序列收敛的概念是很基本的.拓扑空间中也可推广这个概念,但它失去了一些重要的性质.
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1701040819 设x1,x2,…,xn,…(或简单地记作{xn})是拓扑空间X中点的序列,如果点x0∈X的任一邻域U都包含{xn}的几乎所有项(即只有有限个xn不在U中;或存在正整数N,使得当n>N时,xn∈U),则说{xn}收敛到x0,记作xn→x0.
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1701040821 拓扑空间中的序列可能收敛到多个点.例如(R,τf)中,只要序列{xn}的项两两不同,则任一点x∈R的邻域(必是有限集的余集)包含{xn}的几乎所有项,从而xn→x.
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1701040826 数学分析中,当点x是集合A的聚点时,则A中有序列收敛到x.在拓扑空间中这一性质不再成立.例如在(R,τc)中,xn→x对几乎所有n,xn=x(习题13).设A是一个不可数真子集,于是(因为包含A的闭集只有R).取则x是A的聚点,但A中任一序列不可能收敛到x.
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1701040828 由于拓扑空间中的序列收敛性出现这些不正常现象,它也就失去了重要性.
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1701040830 1.4 子空间
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1701040832 设A是拓扑空间(X,τ)的一个非空子集.
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1701040834 定义1.5 规定A的子集族
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1701040836 τA:={U∩A|U∈τ}.
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1701040838 容易验证τA,是A上的一个拓扑,称为τ导出的A上的子空间拓扑,称(A,τA)为(X,τ)的子空间.
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1701040840 以后,对拓扑空间的子集都将看作拓扑空间,即子空间.
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1701040842 现在设A是拓扑空间(X,τ)的子集,B又是A的子集.于是B有两个途径得到子空间拓扑:直接作为X的子空间和看作(A,τA)的子空间.事实上它们是一样的,记(τA)B是τA导出的B上的拓扑,则
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1701040844 (τA)B={V∩B|V∈τA}={(U∩A)∩B|U∈τ}
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1701040846 ={U∩B|U∈τ}=τB.
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1701040848 对于度量空间(X,d)的子集A,也有两种途径得到拓扑:一种途径是直接看作(X,τd)的子空间;另一种途径是由d在A上的限制得到A上的度量dA,它决定A的度量拓扑.这两个拓扑也是相同的(证明略).
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