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（4）
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（5）
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证明留给读者．（可用命题1.3的结果，或用其方法．）
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聚点的概念在欧氏空间中早已出现．要注意现在的推广概念在意义上已发生一些改变．欧氏空间中集合A的聚点的近旁确实聚集了A的无穷多个点，因此有限集是没有聚点的．而在拓扑空间中则不然．例如设X＝｛a，b，c｝，规定拓扑为τ＝｛X，∅，｛a｝｝，则当A＝｛a｝时，b和c都是A的聚点，因为b或c的邻域只有X一个，它包含a．a不是A的聚点，因为A｛a｝＝∅．
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拓扑空间X的子集A称为稠密的，如果如果X有可数的稠密子集，则称X是可分拓扑空间．
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例如，（R，τf）是可分的，事实上它的任一无穷子集都是稠密的，有理数集Q是它的一个可数稠密子集；（R，τc）不是可分的，因为它的任一可数集都是闭集，不可能稠密．
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4．序列的收敛性
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在数学分析中，序列收敛的概念是很基本的．拓扑空间中也可推广这个概念，但它失去了一些重要的性质．
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设x1，x2，…，xn，…（或简单地记作｛xn｝）是拓扑空间X中点的序列，如果点x0∈X的任一邻域U都包含｛xn｝的几乎所有项（即只有有限个xn不在U中；或存在正整数N，使得当n＞N时，xn∈U），则说｛xn｝收敛到x0，记作xn→x0．
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拓扑空间中的序列可能收敛到多个点．例如（R，τf）中，只要序列｛xn｝的项两两不同，则任一点x∈R的邻域（必是有限集的余集）包含｛xn｝的几乎所有项，从而xn→x．
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数学分析中，当点x是集合A的聚点时，则A中有序列收敛到x．在拓扑空间中这一性质不再成立．例如在（R，τc）中，xn→x对几乎所有n，xn＝x（习题13）．设A是一个不可数真子集，于是（因为包含A的闭集只有R）．取则x是A的聚点，但A中任一序列不可能收敛到x．
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由于拓扑空间中的序列收敛性出现这些不正常现象，它也就失去了重要性．
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1.4 子空间
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设A是拓扑空间（X，τ）的一个非空子集．
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定义1.5 规定A的子集族
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τA：＝｛U∩A｜U∈τ｝．
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容易验证τA，是A上的一个拓扑，称为τ导出的A上的子空间拓扑，称（A，τA）为（X，τ）的子空间．
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以后，对拓扑空间的子集都将看作拓扑空间，即子空间．
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现在设A是拓扑空间（X，τ）的子集，B又是A的子集．于是B有两个途径得到子空间拓扑：直接作为X的子空间和看作（A，τA）的子空间．事实上它们是一样的，记（τA）B是τA导出的B上的拓扑，则
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（τA）B＝｛V∩B｜V∈τA｝＝｛（U∩A）∩B｜U∈τ｝
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＝｛U∩B｜U∈τ｝＝τB．
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对于度量空间（X，d）的子集A，也有两种途径得到拓扑：一种途径是直接看作（X，τd）的子空间；另一种途径是由d在A上的限制得到A上的度量dA，它决定A的度量拓扑．这两个拓扑也是相同的（证明略）．
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