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（2）若A是x的邻域，则当fA在x连续时，f在x也连续．
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证明 （1）设V是fA（x）＝f（x）的邻域，则f-1（V）是x在X中的邻域，即存在开集U，使得x∈U⊂f-1（V）．而（V）＝A∩f-1（V）⊃A∩U，这里A∩U是A的包含x的开集．这就验证了fA在x的连续性．
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（2）设V是f（x）的邻域，根据条件存在A中的开集UA，使得x∈UA⊂（V）＝A∩f-1（V）．设UA＝U∩A，其中U是X的开集．则U∩也是X的开集，且x∈U∩⊂UA⊂f-1（V）．因此f在x连续． ▎
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此命题的（2）说明f在某点x处的连续性只与f在x附近的情形有关．
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定义1.7 如果映射f：X→Y在任一点x∈X处都连续，则说f是连续映射．
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连续映射具有“整体性”的描述方式．
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定理1.1 设f：X→Y是映射，下列各条件互相等价：
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（1）f是连续映射；
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（2）Y的任一开集在f下的原像是X的开集；
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（3）Y的任一闭集在f下的原像是X的闭集．
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证明 （1）（2）设V是Y的开集，U＝f-1（V）．∀x∈U，V是f（x）的邻域，由于f在x连续，x是U的内点．由x的任意性，是开集．
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（2）（3）设f是Y的闭集，则fc是开集，因此f-1（fc）是X的开集．于是f-1（f）＝（f-1（fc））c是X的闭集．
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（3）（1）要说明f在任一点x∈X处连续．设V是f（x）的邻域，U＝f-1（V）．因为是开集（闭集的原像是闭集），且所以U是x的邻域．由定义，f在x连续． ▎
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虽然拓扑空间中也有序列收敛的概念，但不能用它来刻画连续性．事实上，如果f：X→Y在x∈X处连续，则当xn→x时，必有f（xn）→f（x）（习题6）．但逆命题不成立．例如设f：X→Y是单映射，其中X是具有余可数拓扑的不可数空间，Y是离散拓扑空间．于是，当X中序列xn→x时，对充分大的n，有xn＝x，从而f（xn）→f（x）．但f在x并不连续，｛f（x）｝是f（x）的邻域，但其原像为｛x｝（因为f是单的），并不是x的邻域．
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2.2 连续映射的性质
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先指出几个简单而常见的连续映射．
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显然，恒同映射id：X→X（即id（x）＝x，∀x∈X）是连续映射．
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设A是X的子空间，记i：A→X是包含映射（即i（a）＝a，∀a∈A），则i是连续映射，因为当U是X的开集时，i-1（U）＝A∩U是A的开集．
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