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如果f：X→Y是常值映射，即f（X）是Y中一点y0，则f连续，因为f-1（V）＝X（若y0∈V），或f-1（V）＝∅（若）．
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如果X是离散拓扑空间，或Y是平凡拓扑空间，则f：X→Y一定是连续的．
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命题1.9 设X，Y和Z都是拓扑空间，映射f：X→Y在x处连续，g：Y→Z在f（x）处连续，则复合映射gf：X→Z在x处连续．
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证明 （gf）（x）＝g（f（x））．对于它的任一邻域W，由于g在f（x）处连续，g-1（W）是f（x）的邻域；又由于f在x处连续，f-1（g-1（W））＝（gf）-1（W）是x的邻域．这就证明了结论． ▎
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由此命题推出，两个连续映射的复合也是连续映射．用此结论可给出命题1.8中（1）的另一个证明．f在A上的限制fA＝fi，由f和i的连续得到fA连续．
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设⊂2X是拓扑空间X的子集族，称是X的一个覆盖，如果（即∀x∈X至少包含在的一个成员中）．如果覆盖的每个成员都是开（闭）集，则称为开（闭）覆盖；覆盖只包含有限个成员时，称是有限覆盖．
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定理1.2（粘接引理） 设｛A1，A2，…，An｝是X的一个有限闭覆盖．如果映射f：X→Y在每个Ai上的限制都是连续的，则f是连续映射．
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证明 只要验证Y的每个闭集的原像是闭集．设B是Y的闭集，记是f在Ai上的限制，则
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∀i，是连续的，因此是Ai的闭集．又因为Ai是X的闭集，所以也是X的闭集（命题1.7中（2））．f-1（B）作为有限个闭集的并集也是闭集． ▎
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粘接引理是判断映射连续性的一种有效方法，它还是分片地构造连续映射的依据．
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2.3 同胚映射
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定义1.8 如果f：X→Y是一一对应，并且f及其逆f-1：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射，或称拓扑变换，或简称同胚．当存在X到Y的同胚映射时，就称X与Y同胚，记作
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值得提醒的是同胚映射中条件f-1连续不可忽视，它不能从一一对应和f连续推出．例如设S1是复平面上的单位圆周，规定f：［0，1）→S1为f（t）＝ei2πt．则f是一一对应，并且连续，但f-1不连续．譬如是［0，1）的开集，但是是包含1的上半圆，1不是它的内点，因此不是开集（图1-2）．
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