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设是X的一个子集族，规定新子集族
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是中若干成员的并集｝
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＝｛U⊂X｜∀x∈U，存在B∈，使得x∈B⊂U｝．称为所生成的子集族．显然
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设X1和X2是两个集合，记X1×X2为它们的笛卡儿积：
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X1×X2＝｛（x1，x2）｜xi∈Xi｝．
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规定ji：X1×X2→Xi为ji（x1，x2）＝xi（i＝1，2），称ji为X1×X2到Xi的投射．如果Ai⊂Xi（i＝1，2），则A1×A2⊂X1×X2．容易验证：当Ai⊂Xi，Bi⊂Xi（i＝1，2）时，
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（A1×A2）∩（B1×B2）＝（A1∩B1）×（A2∩B2）．
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对于“∪”运算，类似等式不成立．
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3.1 乘积空间
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设（X1，τ1，）和（X2，τ2）是两个拓扑空间．现在要在笛卡儿积X1×X2上规定一个与τ1，τ2密切相关的拓扑τ．具体地说，τ要使j1和j2都连续．并且是满足此要求的最小拓扑．
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在具体给出τ的定义之前，我们先来考察τ应该含有哪些集合？
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∀Ui∈τi，由于ji连续，（Ui）∈τ（定理1.1）．若U1∈τ1，U2∈τ2，则
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构造X1×X2的子集族＝｛U1×U2｜Ui∈τi｝，则所要构造的拓扑τ包含．根据拓扑公理（2），τ也一定包含，因此τ就是包含的最小拓扑．
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命题1.10 是X1×X2上的一个拓扑．
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证明 显然满足拓扑公理（1）．
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