1701041500
1701041501
不难看出这里“邻域”可改成“开邻域”，而公理的含义不变．
1701041502
1701041503
显然满足T2公理也一定满足T1公理，但从T1公理推不出T2公理．例如（R，τf）满足T1公理，因为x≠y时，R｛y｝就是x的邻域，它不包含y；而R｛x｝是y的不含x的邻域．但是x与y的邻域一定相交（它们都是有限集的余集），因此（R，τf）不满足T2公理．
1701041504
1701041505
下面的命题更加清楚地阐明了T1公理的意义．
1701041506
1701041507
1701041508
命题2.1 X满足T1公理X的有限子集是闭集．
1701041509
1701041510
1701041511
1701041512
证明 ．只须证单点集是闭集．取x∈X．当y≠x时，T1公理说y有邻域不含x，因此，｛x｝为闭集．
1701041513
1701041514
1701041515
．设x≠y，因为｛y｝是闭集，所以X｛y｝是x的开邻域，它不含y．同样，X｛x｝是y的不含x的开邻域． ▎
1701041516
1701041517
推论 若X满足T1公理，A⊂X，点x是A的聚点，则x的任一邻域与A的交是无穷集．
1701041518
1701041519
证明 用反证法．设x有邻域U，U∩A是有限集，不妨设U是开集．记B＝（U∩A）｛x｝，它是有限集，因此是闭集．于是，UB＝U∩Bc仍是x的开邻域，它不含A｛x｝中点，这与x∈A′矛盾． ▎
1701041520
1701041521
T2公理是最重要的分离公理．满足T2公理的拓扑空间称为Hausdorff空间．以后我们会见到它的许多应用．下面的命题表明它在改善序列收敛性方面的作用．
1701041522
1701041523
命题2.2 Hausdorff空间中，一个序列不会收敛到两个以上的点．
1701041524
1701041525
证明 设Hausdorff空间X中的序列｛xn｝收敛到x0，又设x≠x0，要证明xn↛x．取x0和x的不相交邻域U和V．因为xn→x0，所以U中含｛xn｝的几乎所有项．于是V最多只能含｛xn｝的有限个项，从而xn↛x． ▎
1701041526
1701041527
1.2 T3公理和T4公理
1701041528
1701041529
T3公理 任意一点与不含它的任一闭集有不相交的（开）邻域．
1701041530
1701041531
T4公理 任意两个不相交的闭集有不相交的（开）邻域．
1701041532
1701041533
1701041534
（当时，说U是集合A的邻域）．
1701041535
1701041536
如果X满足T1公理，则它的单点集是闭集，因此T3公理推出T2公理，T4公理推出T3公理．然而没有T1公理的前提时，上述关系不成立．例如在（R，τ）（τ＝｛（－∞，a）｜－∞≤a≤＋∞｝）中，任何两个非空闭集都相交．因此若A与B是不相交的闭集，则其中有一为空集，设B＝∅，于是R与∅是它们的不相交邻域．这说明了（R，τ）满足T4公理，而它不满足T1、T2和T3公理（请读者自己检验）．
1701041537
1701041538
命题2.3 度量空间（X，d）满足Ti公理（i＝1，2，3，4）．
1701041539
1701041540
证明 显然（X，d）中单点集（从而有限集）是闭集，因此它满足T1公理．只须再验证它满足T4公理．
1701041541
1701041542
设A，B是不相交闭集，不妨设它们都不是∅．∀x∈X，则d（x，A）＋d（x，B）＞0（见第一章§2习题第12题）．规定X上连续函数f为
1701041543
1701041544
1701041545
1701041546
1701041547
则当x∈A时，f（x）＝0；x∈B时，f（x）＝1．任取实数t∈（0，1），则f-1（（－∞，t））和f-1（（t，＋∞））是A和B的不相交邻域． ▎
1701041548
1701041549
下面是T3，T4公理的另一种描述形式，它们在许多场合用起来更方便．