打字猴:1.701041783e+09

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1701041788 这里给出f（x）的两个定义式，如果∀r，则用第一式；如果∀r，x∈Ur，则用第二式；余下的情形，两式的值是相等的．因为A⊂Ur，∀r∈QI，所以f在A上各点的值都为0；类似地，f在B上各点取值1．现在只剩下f连续性的验证了，为此只用说明对任何开区间（a，b），f-1（a，b）是X的开集，即它的每一点都是内点．

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1701041791 根据f的定义，∀r∈QI，（a）若x∈Ur，则f（x）≤r；（b）若x则f（x）≥r．从f的定义还可看出，0≤f（x）≤1，∀x∈X．

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1701041793 设x∈f-1（a，b），即a＜f（x）＜b．要证x有开邻域包含在f-1（a，b）中．

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1701041800 如果f（x）≠0，1，则可取r，r′，r″∈QI，使得a＜r′＜r″＜f（x）＜r＜b．由（a）知，从而由（b）知，x∈Ur，因此是x的开邻域．（a）与（b）说明a＜r′≤f（y）≤r＜b，因此

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1701041802 如果f（x）＝0，则a＜0，取r＜b，则x∈Ur⊂f-1（a，b）．

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1701041805 如果f（x）＝1，则b＞1，取a＜r′＜r″，则

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1701041809 显然，当对于A，B有定理中所说的连续函数时，A，B有不相交的邻域．因此Урьысон引理的结论是T4公理的等价条件．

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1701041811 2.2　Tietze扩张定理

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1701041813 分析学中有连续延拓定理②：定义在E1的某个闭集上的有界连续函数可延拓为定义在E1上的连续函数．利用Урьысон引理，可以推广这个定理为Tietze扩张定理．

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1701041815 定理2.3（Tietze扩张定理）　如果X满足T4公理，则定义在X的闭子集F上的连续函数可连续地扩张到X上．

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1701041817 证明　我们分两步证明：先对有界连续函数证明，然后推广到一般连续函数．

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1701041819 （1）设f：F→E1连续，且f（F）⊂［－1，1］．记A＝f-1（［－1，－1/3］），B＝f-1（［1/3，1］），则A，B是F的不相交闭子集．因为F是X的闭集，所以A，B也是X的闭集．用Урьысон引理，可作X上连续函数φ1，使得φ1（X）⊂［－1/3，1/3］，并且φ1在A和B上分别取值－1/3和1/3．令f1＝f－φ1：F→E1，则f1（F）⊂［－2/3，2/3］．用f1替代F，重复以上过程，构造出X上连续函数φ2，使得φ2（X）⊂［－2/9，2/9］，F上的连续函数f2＝f1－φ2＝f－φ1－φ2满足f2（F）⊂［－4/9，4/9］．不断重复以上做法，归纳地作出X上的连续函数序列｛φn｝，使得

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