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（2）设f是F上的连续函数，不一定有界．规定f′：F→E1为∀x∈F，则f′（F）⊂（－1，1）．由（1），有f′的扩张连续，且（X）⊂［－1，1］．记E则E是X的闭集，并且f∩E＝∅．根据Урьысон引理，存在X上的连续函数h，使得h（X）⊂［0，1］，并且h在E和F上分别取值0和1．于是对∀x∈X，（－1，1），因此可规定为
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∀x∈X，
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则连续，并且当x∈F时，因为h（x）＝1，所以
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即是f的扩张． ▎
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从Tietze定理的结论容易推出X满足T4公理，因此它是T4公理的另一个等价条件．
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2.3 Урьысон度量化定理（Urysohn度量化定理）
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一个拓扑空间（X，τ）称为可度量化的，如果可以在集合X上规定一个度量d，使得τd＝τ．
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命题2.8 拓扑空间X可度量化存在从X到一个度量空间的嵌入映射．
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证明 ．取X上度量d，使τd是X原有的拓扑，则id：X→（X，d）是同胚映射．
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．设f：X→（Y，d）是嵌入映射．记B＝f（X），dB是d在B上诱导的度量，则f：X→（B，dB）是同胚．规定X上的度量ρ为：ρ（x，x′）＝dB（f（x），f（x′）），则f-1：（B，dB）→（X，ρ）是保持度量的一一对应，从而是同胚．于是id＝f-1f：X→（X，ρ）是同胚，即τρ是X原有拓扑． ▎
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定理2.4（Урьысон度量化定理） 拓扑空间X如果满足T1，T4和C2公理，则X可以嵌入到Hilbert空间Eω中．
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证明 取X的可数拓扑基．中两个成员B与若满足就称为一个典型对．把所有的典型对（是可数的）排列好，并记以π1，π2，π3，…，πn，…，∀n，πn由Bn和构成
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由于X满足T4公理，用Урьысон引理可构造连续函数fn：X→E1，使得fn在上取值为0，在上取值为1，∀n．（如果典型对只有M对，则n＞M时让fn＝0．）规定f：X→Eω为
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∀x∈X．