打字猴:1.701041833e+09
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1701041839 (2)设f是F上的连续函数,不一定有界.规定f′:F→E1为∀x∈F,则f′(F)⊂(-1,1).由(1),有f′的扩张连续,且(X)⊂[-1,1].记E则E是X的闭集,并且f∩E=∅.根据Урьысон引理,存在X上的连续函数h,使得h(X)⊂[0,1],并且h在E和F上分别取值0和1.于是对∀x∈X,(-1,1),因此可规定为
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1701041842 ∀x∈X,
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1701041845 则连续,并且当x∈F时,因为h(x)=1,所以
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1701041849 即是f的扩张. ▎
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1701041851 从Tietze定理的结论容易推出X满足T4公理,因此它是T4公理的另一个等价条件.
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1701041853 2.3 Урьысон度量化定理(Urysohn度量化定理)
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1701041855 一个拓扑空间(X,τ)称为可度量化的,如果可以在集合X上规定一个度量d,使得τd=τ.
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1701041858 命题2.8 拓扑空间X可度量化存在从X到一个度量空间的嵌入映射.
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1701041861 证明 .取X上度量d,使τd是X原有的拓扑,则id:X→(X,d)是同胚映射.
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1701041865 .设f:X→(Y,d)是嵌入映射.记B=f(X),dB是d在B上诱导的度量,则f:X→(B,dB)是同胚.规定X上的度量ρ为:ρ(x,x′)=dB(f(x),f(x′)),则f-1:(B,dB)→(X,ρ)是保持度量的一一对应,从而是同胚.于是id=f-1f:X→(X,ρ)是同胚,即τρ是X原有拓扑. ▎
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1701041867 定理2.4(Урьысон度量化定理) 拓扑空间X如果满足T1,T4和C2公理,则X可以嵌入到Hilbert空间Eω中.
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1701041875 证明 取X的可数拓扑基.中两个成员B与若满足就称为一个典型对.把所有的典型对(是可数的)排列好,并记以π1,π2,π3,…,πn,…,∀n,πn由Bn和构成
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1701041879 由于X满足T4公理,用Урьысон引理可构造连续函数fn:X→E1,使得fn在上取值为0,在上取值为1,∀n.(如果典型对只有M对,则n>M时让fn=0.)规定f:X→Eω为
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1701041882 ∀x∈X.
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