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1701042086 证明 .设是A在X中的开覆盖,则A={U∩A|U∈}是A的开覆盖.因为A紧致,所以A有有限子覆盖{U1∩A,U2∩A,…,Un∩A}.则{U1,U2,…,Un}是的有限子覆盖.
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1701042094 .设是A的开覆盖.则由子空间拓扑的定义,∀V∈,取定X中开集U,使得V=U∩A.所有得到的U构成A在中的开覆盖.由条件,有子覆盖{U1,U2,…,Un}.于是{U1∩A,U2∩A,…,Un∩A}是的有限子覆盖.这证明了A的紧致性. ▎
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1701042096 命题2.15 紧致空间的闭子集紧致.
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1701042101 证明 设X是紧致拓扑空间,A是X的闭子集.证A的紧致性只须证明A在X中的任一开覆盖有有限子覆盖.因为A是闭集,所以Ac是开集.于是中添加了Ac后得到X的一个开覆盖.由于X紧致,它有子覆盖{U1,…,Un,Ac}.于是(U1,…,Un}是的有限子覆盖(A的覆盖).
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1701042103 命题2.16 紧致空间在连续映射下的像也紧致.
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1701042110 证明 设X紧致,映射f:X→Y连续.要证明f(X)是Y的紧致子集.设是f(X)在Y中的开覆盖,则{f-1(U)|U∈}是X的开覆盖,有子覆盖{f-1(U1),f-1(U2),…,f-1(Un)},即X于是因此{U1,U2,…,Un}是的子覆盖,根据命题2.14,f(X)紧致. ▎
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1701042112 命题2.16的一个直接推论是:紧致性是拓扑性质.当然,从定义就可得到这个论断.
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1701042114 推论 定义在紧致空间上的连续函数有界,并且达到最大、最小值.
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1701042116 证明 设X紧致,f:X→E1连续.根据命题2.16,f(X)是E1上的紧致子集,因此是E1的有界闭集,故f是有界的.设a,b分别是f(X)的最大、最小值.则有x1,x2∈X,使得f(x1)=a,f(x2)=b,即f在x1,x2处达到最大、最小值. ▎
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1701042118 3.4 Hausdorff空间的紧致子集
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1701042120 下面讨论紧致和T2公理共同作用下能得到的结果.
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1701042123 命题2.17 若A是Hausdorff空间X的紧致子集,则x与A有不相交的邻域.
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