打字猴:1.70104208e+09

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1701042086 证明　．设是A在X中的开覆盖，则A＝｛U∩A｜U∈｝是A的开覆盖．因为A紧致，所以A有有限子覆盖｛U1∩A，U2∩A，…，Un∩A｝．则｛U1，U2，…，Un｝是的有限子覆盖．

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1701042094 ．设是A的开覆盖．则由子空间拓扑的定义，∀V∈，取定X中开集U，使得V＝U∩A．所有得到的U构成A在中的开覆盖．由条件，有子覆盖｛U1，U2，…，Un｝．于是｛U1∩A，U2∩A，…，Un∩A｝是的有限子覆盖．这证明了A的紧致性．　▎

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1701042096 命题2.15　紧致空间的闭子集紧致．

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1701042101 证明　设X是紧致拓扑空间，A是X的闭子集．证A的紧致性只须证明A在X中的任一开覆盖有有限子覆盖．因为A是闭集，所以Ac是开集．于是中添加了Ac后得到X的一个开覆盖．由于X紧致，它有子覆盖｛U1，…，Un，Ac｝．于是（U1，…，Un｝是的有限子覆盖（A的覆盖）．

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1701042103 命题2.16　紧致空间在连续映射下的像也紧致．

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1701042110 证明　设X紧致，映射f：X→Y连续．要证明f（X）是Y的紧致子集．设是f（X）在Y中的开覆盖，则｛f-1（U）｜U∈｝是X的开覆盖，有子覆盖｛f-1（U1），f-1（U2），…，f-1（Un）｝，即X于是因此｛U1，U2，…，Un｝是的子覆盖，根据命题2.14，f（X）紧致．　▎

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1701042112 命题2.16的一个直接推论是：紧致性是拓扑性质．当然，从定义就可得到这个论断．

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1701042114 推论　定义在紧致空间上的连续函数有界，并且达到最大、最小值．

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1701042116 证明　设X紧致，f：X→E1连续．根据命题2.16，f（X）是E1上的紧致子集，因此是E1的有界闭集，故f是有界的．设a，b分别是f（X）的最大、最小值．则有x1，x2∈X，使得f（x1）＝a，f（x2）＝b，即f在x1，x2处达到最大、最小值．　▎

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1701042118 3.4　Hausdorff空间的紧致子集

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1701042120 下面讨论紧致和T2公理共同作用下能得到的结果．

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