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1701042130 证明 ∀y∈A,则x≠y.X是Hausdorff空间,因而x和y有不相交的开邻域Uy和Vy(它们都随y而改变).{Vy|y∈A}构成A在X中的开覆盖,有子覆盖记(图2-4),则它们都是开集(U是开集仰仗于“有限”),并且分别是A和x的邻域.因为所以U∩V=∅.U,V即为所求. ▎
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1701042135 图2-4
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1701042137 推论 Hausdorff空间的紧致子集是闭集. ▎
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1701042139 下面是一个常用的定理.
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1701042141 定理2.6 设f:X→Y是连续的一一对应,其中X紧致,Y是Hausdorff空间,则f是同胚.
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1701042143 证明 要证明f-1:Y→X连续,只须证f是闭映射(见第一章§2的习题11).设A是X的闭集,由命题2.15,A是紧致的;由命题2.16,f(A)是Y的紧致子集;再由命题2.17的推论知f(A)是Y的闭集. ▎
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1701042145 命题2.18 Hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交的邻域.
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1701042147 证明 用命题2.17的方法和结果.请读者自己补充证明细节. ▎
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1701042149 命题2.19 紧致Hausdorff空间满足T3,T4公理.
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1701042151 证明 只用证满足T4公理.设A和B是紧致Hausdorff空间X的不相交闭子集,由命题2.15,A,B都紧致,再用命题2.18,A和B有不相交邻域.这证明了X满足T4公理. ▎
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1701042153 3.5 乘积空间的紧致性
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1701042155 容易看出,紧致性没有遗传性,例如闭区间[a,b]紧致,它的子集(a,b)不紧致.但紧致性有可乘性,下面证明此结论.
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1701042160 图2-5
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1701042162 引理 设A是X的紧致子集,y是Y的一点,在乘积空间X×Y中,W是A×{y}的邻域.则存在A和y的开邻域U和V,使得U×V⊂W.
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1701042168 证明 ∀x∈A,则(x,y)是W的内点,因此可作x,y的开邻域Ux,Vx,使得Ux×Vx⊂W.{Ux|x∈A}是A在X中的开覆盖.而A紧致,{Ux|x∈A}有子覆盖记(见图2-5),则U和V分别是A和y的开邻域,并且 ▎
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1701042170 定理2.7 若X与Y都紧致,则X×Y也紧致.
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