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证明 ∀y∈A，则x≠y．X是Hausdorff空间，因而x和y有不相交的开邻域Uy和Vy（它们都随y而改变）．｛Vy｜y∈A｝构成A在X中的开覆盖，有子覆盖记（图2-4），则它们都是开集（U是开集仰仗于“有限”），并且分别是A和x的邻域．因为所以U∩V＝∅．U，V即为所求． ▎
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图2-4
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推论 Hausdorff空间的紧致子集是闭集． ▎
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下面是一个常用的定理．
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定理2.6 设f：X→Y是连续的一一对应，其中X紧致，Y是Hausdorff空间，则f是同胚．
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证明 要证明f-1：Y→X连续，只须证f是闭映射（见第一章§2的习题11）．设A是X的闭集，由命题2.15，A是紧致的；由命题2.16，f（A）是Y的紧致子集；再由命题2.17的推论知f（A）是Y的闭集． ▎
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命题2.18 Hausdorff空间的不相交紧致子集有不相交的邻域．
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证明 用命题2.17的方法和结果．请读者自己补充证明细节． ▎
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命题2.19 紧致Hausdorff空间满足T3，T4公理．
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证明 只用证满足T4公理．设A和B是紧致Hausdorff空间X的不相交闭子集，由命题2.15，A，B都紧致，再用命题2.18，A和B有不相交邻域．这证明了X满足T4公理． ▎
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3.5 乘积空间的紧致性
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容易看出，紧致性没有遗传性，例如闭区间［a，b］紧致，它的子集（a，b）不紧致．但紧致性有可乘性，下面证明此结论．
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图2-5
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引理 设A是X的紧致子集，y是Y的一点，在乘积空间X×Y中，W是A×｛y｝的邻域．则存在A和y的开邻域U和V，使得U×V⊂W．
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证明 ∀x∈A，则（x，y）是W的内点，因此可作x，y的开邻域Ux，Vx，使得Ux×Vx⊂W．｛Ux｜x∈A｝是A在X中的开覆盖．而A紧致，｛Ux｜x∈A｝有子覆盖记（见图2-5），则U和V分别是A和y的开邻域，并且 ▎
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定理2.7 若X与Y都紧致，则X×Y也紧致．
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