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证明 设是X×Y的开覆盖.要说明它有有限子覆盖.∀y∈Y,则从而是紧致的.也是它在X×Y中的开覆盖,有有限子覆盖,即可选出中有限个开集,它们的并集Wy是X×{y}的邻域.由引理,有y的开邻域Vy,使得X×Vy⊂Wy,因而X×Vy被中有限个开集所覆盖.{Vy|y∈Y}是紧致空间Y的开覆盖,有子覆盖即其中每个X×Vyi都被中有限个开集覆盖.于是X×Y也被中有限个开集所覆盖,即有有限子覆盖. ▎
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定理的结论容易推广到有限乘积的情形.对无穷乘积情形,有Тихонов定理:如果规定上的拓扑是乘积拓扑,则当每个Xλ都紧致时,也紧致.这个定理的证明要用到Zorn引理或与之等价的逻辑命题.这里省略了.
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*3.6 局部紧致与仿紧
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紧致性是一种很好的拓扑性质,但它毕竟太强了,连欧氏空间En也不是紧致的.现在介绍紧致性的两种推广:局部紧致和仿紧.它们在拓扑学以及微分几何等学科中都是较常用到的.但在本书中它们用得很少或不用,这里只介绍它们的定义和最基本的性质.
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定义2.4 拓扑空间X称为局部紧致的,如果∀x∈X都有紧致的邻域.
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显然,紧致空间是局部紧致的;En也是局部紧致的.
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下面讨论局部紧致和T2公理配合的结果.
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命题2.20 设X是局部紧致的Hausdorff空间,则
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(1)X满足T3公理;
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(2)∀x∈X,x的紧致邻域构成它的邻域基;
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(3)X的开子集也是局部紧致的.
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证明 (1)设x∈X,U是x的开邻域.要证明存在x的开邻域V,使得
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取x的紧致邻域F,因为F是紧致Hausdorff空间,所以满足T3公理.在F中,F∩U是x的开邻域,因此有F中开集W,x∈W,并且又因为F是X的闭集(见命题2.17的推论),所以(见第一章§1习题12中(1)).记W,它是X的开集,且x∈V,V即为所求.
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(2)设x∈X,U是x的开邻域.要证明存在x的紧致邻域C⊂U.
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作x的紧致邻域F,则F∩U是x的邻域.因为X满足T3公理,所以有x的邻域V,满足令它是紧致空间F的闭集,因此紧致.C即为所求.
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(3)从(2)直接推出. ▎
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拓扑空间X的覆盖称为局部有限的,如果X的每一点有邻域V,它只同中有限个成员相交.
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