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证明 设是X×Y的开覆盖．要说明它有有限子覆盖．∀y∈Y，则从而是紧致的．也是它在X×Y中的开覆盖，有有限子覆盖，即可选出中有限个开集，它们的并集Wy是X×｛y｝的邻域．由引理，有y的开邻域Vy，使得X×Vy⊂Wy，因而X×Vy被中有限个开集所覆盖．｛Vy｜y∈Y｝是紧致空间Y的开覆盖，有子覆盖即其中每个X×Vyi都被中有限个开集覆盖．于是X×Y也被中有限个开集所覆盖，即有有限子覆盖． ▎
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定理的结论容易推广到有限乘积的情形．对无穷乘积情形，有Тихонов定理：如果规定上的拓扑是乘积拓扑，则当每个Xλ都紧致时，也紧致．这个定理的证明要用到Zorn引理或与之等价的逻辑命题．这里省略了．
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*3.6 局部紧致与仿紧
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紧致性是一种很好的拓扑性质，但它毕竟太强了，连欧氏空间En也不是紧致的．现在介绍紧致性的两种推广：局部紧致和仿紧．它们在拓扑学以及微分几何等学科中都是较常用到的．但在本书中它们用得很少或不用，这里只介绍它们的定义和最基本的性质．
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定义2.4 拓扑空间X称为局部紧致的，如果∀x∈X都有紧致的邻域．
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显然，紧致空间是局部紧致的；En也是局部紧致的．
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下面讨论局部紧致和T2公理配合的结果．
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命题2.20 设X是局部紧致的Hausdorff空间，则
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（1）X满足T3公理；
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（2）∀x∈X，x的紧致邻域构成它的邻域基；
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（3）X的开子集也是局部紧致的．
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证明 （1）设x∈X，U是x的开邻域．要证明存在x的开邻域V，使得
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取x的紧致邻域F，因为F是紧致Hausdorff空间，所以满足T3公理．在F中，F∩U是x的开邻域，因此有F中开集W，x∈W，并且又因为F是X的闭集（见命题2.17的推论），所以（见第一章§1习题12中（1））．记W，它是X的开集，且x∈V，V即为所求．
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（2）设x∈X，U是x的开邻域．要证明存在x的紧致邻域C⊂U．
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作x的紧致邻域F，则F∩U是x的邻域．因为X满足T3公理，所以有x的邻域V，满足令它是紧致空间F的闭集，因此紧致．C即为所求．
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（3）从（2）直接推出． ▎
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拓扑空间X的覆盖称为局部有限的，如果X的每一点有邻域V，它只同中有限个成员相交．
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