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我们来说明P2的其他几种形式（包括§1中给出的形式）．
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设S2为单位球面．作映射f：S2→P2为：∀x∈S2，f（x）是由x与原点O决定的直线，则f是商映射．就是把S2上的每对对径点看成一个等价类．因此S2上粘合每一对对径点，所得商空间就是P2．
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作g：则fg：D2→P2也是商映射，因此D2上粘合S1的各对对径点得到P2（图3-13）．
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图3-13
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因为矩形同胚于D2，因此如图3-14那样粘接矩形两双对边也得到P2．
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例5 沿边界，将Möbius带与D2粘合在一起，商空间就是P2．
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图3-14
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例3说明Möbius带是平环粘合外边界上对径点所得商空间．因此X是平环的外边界粘合对径点，内边界粘接一圆盘所得空间（图3-15）．如先粘接圆盘，则可看出X是P2．
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图3-15
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*2.4 关于商映射的一个定理
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设fi：Xi→Yi（i＝1，2）是映射．规定映射
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f1×f2∶X1×X2→Y1×Y2
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为（f1×f2）（x1，x2）＝（f1（x1），f2（x2））．显然，当f1和f2都满时f1×f2也满，当f1和f2都连续时f1×f2也连续．如果f1和f2都是商映射时，f1×f2是否也是商映射？一般地，这是不成立的．只有在一定的条件下才成立．
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定理3.3 设f：X→Y是商映射，Z是局部紧致的Hausdorff空间，id：Z→Z表示恒同映射，则
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f×id∶X×Z→Y×Z
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也是商映射．
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证明 记F＝f×id．它显然是连续满映射．只须验证商映射的条件（3），即当W⊂Y×Z使得F-1（W）是开集时，验证W是开集．任取（y0，z0）∈W，要证明它是W的内点．
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取x0∈F-1（y0），则（x0，z0）∈F-1（W）．因为F-1（W）是开集，所以有z0的邻域B，使得｛x0｝×B⊂F-1（W），即｛y0｝×B⊂W．由于Z是局部紧致Hausdorff空间，可不妨设B是紧致的（命题2.20中（2））．
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规定Y的子集V：＝｛y∈Y｜｛y｝×B⊂W｝，则y0∈V，并且V×B⊂W．如果f（x）＝y，则F（｛x｝×B）＝｛y｝×B，从而y∈V｛x｝×B⊂F-1（W）．规定U＝f-1（V），则U＝｛x∈X｜｛x｝×B⊂F-1（W）｝．