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设（X1，τ1）与（X2，τ2）是两个拓扑空间，在X1⊔X2中规定拓扑τ＝｛U⊂X1⊔X2｜U∩Xi∈τi，i＝1，2｝．称｛X1⊔X2，τ）为（X1，τ1）与（X2，τ2）的拓扑和．两个拓扑空间X与Y的拓扑和记作X＋Y．
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设X与Y是两个拓扑空间，A⊂X，f：A→Y连续．在X＋Y中规定等价关系～，使得等价类为下面两种形式：
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（1）XA中的单个点；
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（2）｛y｝∪f-1（y），∀y∈Y．
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称商空间（X＋Y）/～为映射f的贴空间，记作Y∪fX．
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14．设i：S1→D2是包含映射，证明
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15．记规定为f（x）＝（x，0），∀x∈E1．证明：
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基础拓扑学讲义 [:1701040213]
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§3 拓扑流形与闭曲面
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3.1 流形
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球面、环面以及我们熟悉的其他曲面从整体上看比平面复杂多了，但是在局部上，它们每一点的近旁都有一块区域同胚于平面．这种特性使得我们可以在局部的范围内应用分析学工具对它进行研究．粗略地讲，具有局部欧氏特性的拓扑空间称之为流形．它是近代数学最重要的基础概念之一．它不仅在几何学科中占有重要地位，在分析学科和应用数学中也是重要研究对象．流形是比较复杂的概念，在不同的研究领域还要求它带有各种特殊的结构．下面定义的拓扑流形是最一般的流形．
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定义3.3 一个Hausdorff空间X称为n维（拓扑）流形，如果X的任一点都有一个同胚于En或开邻域．
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这里是半个n维欧氏空间，规定为
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∶＝｛（x1，x2，…，xn）∈En｜xn≥0｝．
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按照这个定义，En本身就是一个n维流形，Sn，Dn和Tn等也都是n维流形．而二次锥面并不是流形，除非把锥顶去掉，因为锥顶的任一邻域不同胚于E2或（请读者证明）．
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设M是n维流形．点x∈M如果有同胚于En的开邻域，就称x是M的内点（注意此概念区别于第一章给出的子集内点的概念），否则称为边界点．全体内点的集合称为M的内部，它是M的一个开集．
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要让以上概念明确，我们还必须承认一些事实．譬如，n≠m时（否则流形的维数就失去意义了）；还有，（否则就没有内点与边界点的区分了）．这些事实现在还不能证明，以后将用基本群或同调群工具予以证明．
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从定义不难看出，流形满足C1公理（习题1），它还是局部道路连通和局部紧致的（习题6）．
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如果n维流形有边界点，则记∂M是它的边界点的集合．可以证明∂M是一个没有边界点的（n－1）维流形．
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3.2 闭曲面
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二维流形称为曲面．如E2，S2，T2，平环和Möbius带都是曲面．前三个没有边界点．
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