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4.2 闭曲面分类定理结论（1）的证明
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1．闭曲面的多边形表示
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§3中已说到，一个偶数边的多边形Γ如果把边成对的粘接，则得到的商空间为闭曲面．记φ是所说的粘合关系．如果Γ在φ之下的商空间同胚于闭曲面S，就说Γ和φ一起构成S的一个多边形表示，记作（Γ，φ）．粘合关系φ可以按下面约定在Γ上表出：要粘接的边对标以同一字母，并用箭头表示粘接方式．图3-25中列举了四边形上所有可能的粘合关系．其中（a）是环面的表示，（c）是P2，（b）和（d）都是Klein瓶．（e）和（f）请读者自己判断．
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图3-25
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描述一个表示的另一方法是选定Γ的一个顶点和一个转向（逆时针或顺时针），然后依次写出标在各边上的字母，并在右上角加或不加－1来表明其方向与转向相逆或一致．例如若取左下角顶点和逆时针方向，则图3-25中的（b），（c），（e）分别写出为
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aba-1b，abab，aabb-1．
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引理1 任一闭曲面都有多边形表示．
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这个引理的断言将是我们的论证的出发点．引理的证明要用到1925年T. Rado的一个经典结果：闭曲面是可三角剖分的，涉及到本书第六章中的概念．证明本身是初等的，但比较冗长，这里略去了．
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显然，有相同形式的多边形表示的闭曲面是相互同胚的．这给出了判定闭曲面同胚的一个途径．但是，每个闭曲面有许多不相同的多边形表示，这给上述判定方法的使用造成了困难．为此，我们提出“标准多边形表示”这个概念，在这种表示中，要求粘合法则有一定的规律．标准多边形表示有两类，它们用文字形式写出为
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a1a1a2a2…amam． （Ⅱm）
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我们下面将证明，除球面外，任一闭曲面都有标准表示；并说明有（Ⅰn）这种表示的是nT2型曲面，有（Ⅱm）这种表示的是mP2型曲面．
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2．多边形表示的标准化
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设S是一闭曲面，它有多边形表示（Γ，φ）．我们要改造这个表示使之标准化．不妨设S不是球面、环面、射影平面和Klein瓶（已知道后三种闭曲面有标准表示），因此Γ的边数不会小于6（因为当边数为4时，只可能是上述几种曲面）．
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下面给出从（Γ，φ）出发，构造S的标准表示的程序．每一步都是用§2中已经使用多次的“剪接”技术．
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先约定几个术语．
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在（Γ，φ）中，Γ的在φ下要粘接的边对称为同向对，如果两边标有相同的方向，否则称反向对．例如在（Ⅰn）中，只出现反向对，（Ⅱm）中只有同向对．
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Γ的所有顶点在粘合关系φ下分成若干等价类，称它们为顶点类．例如图3.25中的（a）、（b）和（d）都只有一个顶点类；（c）和（e）有两个顶点类；（f）有三个顶点类．
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将使用两类剪接手术：
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手术A 粘接相邻反向对．
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图3-26
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例如对图3-26中的多边形Γ粘接反向对a（其他边对暂不粘接），得新多边形Γ′，φ导出Γ′的粘合关系φ′．得到S的另一个表示（Γ′，φ′），它的边数比Γ少2，顶点类个数减少1（Γ的顶点A单独成一顶点类，在Γ′中它成为内点）．