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1701044377 因此A是X的形变收缩核.但是不存在X到A的强形变收缩(请读者自己证明).
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1701044379 下面我们给出构造一个商空间的形变收缩的有用方法.
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1701044384 图4-19
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1701044388 命题4.13 设f:X→Y是商映射,A⊂X,B=f(A).如果H是X到A的(强)形变收缩,并且满足条件:当时,∀t∈I,则存在Y到B的(强)形变收缩.
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1701044393 证明 规定G:Y×I→Y为G(y,t)=f(H(x,t)),其中x∈f-1(y).H满足的条件保证了G是确定的,并且G(f×idI)=fH.(见右面图表)根据定理3.3,f×idI是商映射.fH是连续的,根据定理3.la,G连续.
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1701044398 ∀y∈Y,取x∈f-1(y),则G(y,0)=f(H(x,0))=f(x)=y;G(y,1)=f(H(x,1))∈f(A)=B.∀b∈B,取A中点a∈f-1(b),则G(b,1)=f(H(a,1))=f(a)=b.于是G是Y到B的形变收缩.如果H是强形变收缩,则G(b,t)=f(H(a,t))=f(a)=b,因此G也是强形变收缩. ▎
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1701044400 例8 拓扑锥CX以锥顶为强形变收缩核.
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1701044402 CX=X×I/X×{1},记f:X×I→CX是粘合映射.作X×I到X×{1}的强形变收缩H:(X×I)×I→X×I为
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1701044404 H(x,t,s)=(x,(1-s)t+s),
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1701044406 则H满足命题4.13的条件,从而H导出CX到锥顶f(X×{1})的强形变收缩.
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1701044408 例9 Möbius带以腰圆为强形变收缩核.
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1701044413 图4-20
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1701044416 记X是Möbius带,它是矩形M粘合两侧边所得商空间.记f:M→X是商映射.设A是连结M的两侧边中点的线段,则f(A)是X的腰圆.记r:M→A是沿竖直方向把M压向A(图4-20).则从idM到ir的直线同伦是X到A的一个强形变收缩,并且满足命题4.13的条件,从而导出X到腰圆的强形变收缩.
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1701044418 记x0是腰圆上一点,a是以x0为基点,并沿腰圆走一圈的闭路,则π1(X,x0)是由〈a〉生成的自由循环群.
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1701044420 例10 环面T2去掉一点后,以一个经圆和一个纬圆的并集为强形变收缩核(图4-21).
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1701044425 图4-21
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