打字猴:1.701044605e+09
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1701044607 是秩为n的有限生成自由群.
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1701044609 例2 计算闭曲面的基本群.
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1701044614 图4-27
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1701044617 以Klein瓶为例.矩形M按图4-27所示方式粘接两对邻边,得到的商空间X是Klein瓶.设A⊂X是由M的边界粘合成的子集,它是两个圆的圆束,记交点为x1.取XA中的一个圆盘,记作X2.记则对X,X1,X2可用定理的特殊情形(2),得到
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1701044622 其中x0∈X0=X1∩X2(是一圆周),d是x0处沿X0走一圈的闭路.A是X1的形变收缩核,从而包含映射i:A→X1导出同构iπ:π1(A,x1)→π1(X1,x1).利用例1的结果,推出
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1701044624 π1(X1,x1)=F(〈a〉,〈b〉),
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1701044626 〈a〉,〈b〉分别是图4-27中所示闭路a,b在X1中的闭路类.取ω是X1中从x0到x1的道路类,则同构ω#把〈d〉映为ω-1〈d〉ω=〈a〉2〈b〉2.于是
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1701044631 用同样办法计算任何闭曲面的基本群,得到
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1701044636 下面介绍基本群的几个应用.
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1701044638 5.3 完成闭曲面分类定理3.4的证明
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1701044641 闭曲面分类定理3.4证明的剩下部分是要说明不同类型闭曲面不同胚,为此只须说明它们的基本群不同构.两个群的不同构并不很容易从它们的结构判定,但交换群的不同构比较容易判定.为此我们求闭曲面基本群的交换化.关于群的交换化的有关概念和性质可在附录A中找到.群G的交换化记作利用命题A.11和A.12可以算出③
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1701044646 于是不同类型的闭曲面的基本群交换化以后不同构,因此基本群也不同构.分类定理证明完成.
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1701044648 事实上,我们也证明了不同类型的闭曲面的伦型不相同.因此闭曲面的同伦分类与拓扑分类是一致的.
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1701044650 5.4 Brouwer不动点定理2维情形的证明
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1701044652 我们叙述这个著名定理,并用基本群为工具,完成2维情形的证明.高维的证明在第八章中完成.
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1701044654 定理4.8(Brouwer不动点定理) 设f是n维实心球Dn到自身的连续映射,则存在x∈Dn,使得f(x)=x.
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