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1.3 复叠空间的基本群
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取定e∈E，记b＝p（e）．命题5.2说明，E上以e为起点的所有道路的集合与B上以b为起点的所有道路的集合间有一一对应关系：命题5.3说明，上述对应保持定端同伦关系，因此它导出E上以e为起点的道路类的集合与B上以b为起点的道路类的集合间的一一对应pπ．记L（e）是E上以e为起点，终点在p-1（b）中的道路类的集合，则pπ（L（e））＝π1（B，b）．限制pπ在π1（E，e）上，得到
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命题5.4 pπ：（π1（E，e））→π1（B，b）是单同态． ▎
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规定He：＝pπ（π1（E，e）），它是π1（B，b）的子群．
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命题5.5 He在π1（B，b）中的指数［π1（B，b）：He］等于复叠映射p的叶数．
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证明 ［π1（B，b）：He］就是π1（B，b）中He的右陪集的“个数”．而p的叶数是p-1（b）中的“点数”．下面构造从p-1（b）到He的全部右陪集的集合π1（B，b）/He的一个一一对应η，从而完成证明．
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图5-8
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pπ：L（e）→π1（B，b）是一一对应．如果有相同的终点，则即与在He的同一个右陪集中．这样，可规定对应η：p-1（b）→π1（B，b）/He如下：∀e′∈p-1（b），取以e′为终点，令η（e′）＝所在右陪集）．易见η是满的．设e′，e″∈p-1（b），η（e′）＝η（e″），取终点分别为e′和e″（图5-8），则即存在r∈He，使得取使得则由于pπ是单的，有从而e′＝e″．这说明η还是单一的． ▎
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一般地，He与e在p-1（b）中的选择有关．
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命题5.6 ｛He｜e∈p-1（b）｝构成π1（B，b）的一个子群共轭类．
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证明 设e，e′∈p-1（b），取是从e到e′的一个道路类，则有交换同态图表（第四章§2习题4）
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其中a＃是π1（B，b）上的一个内自同构．因此
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