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与He共轭．反之，若π1（B，e）的子群G与He共轭，设G＝α＃He．取使得记e′是的终点，则由上面讨论知， ▎
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在本节的最后，我们举出两个应用的例子．
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（1）
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例2给出了从Sn到Pn的一个2叶复叠映射．当n≥2时，Sn单连通，因此He是平凡子群．利用命题5.5，推出π1（Pn）有两个元素，从而
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（2）秩为2的自由群有秩为4的自由子群．
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例4构造的复叠映射的底空间的基本群是秩为2的自由群，而复叠空间的基本群是秩为4的自由群．
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事实上用构造字形的复叠空间的方法可以说明，秩为2的自由群有秩为任意正整数的自由子群，也有秩为无穷可数的自由子群．
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习 题
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1．设p：E→B是复叠映射，证明p是开映射（从而是商映射）．
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2．设p：E→B是复叠映射，证明纤维的势（基数）＃p-1（b）与b∈B的选择无关．
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3．设p：E→B是复叠映射，U⊂B是开集，设h：U→E是U上的一个截面（即h是包含映射i：U→B的提升），证明h（U）是E的开集．
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4．验证命题5.1中的p是开映射．
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5．设pi：Ei→Bi是复叠映射，i＝1，2．证明p1×p2：E1×E2→B1×B2也是复叠映射．
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6．设p：E→B是复叠映射，证明p是局部同胚的（即∀e∈E，有e的开邻域V，使得p｜V：V→p（V）是同胚）．
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7．证明例6中的F/f是3P2型曲面．
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8．对于实数a＜b，作p：（a，b）→S1为p（x）＝ei2πx．p是不是复叠映射？
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9．p：［a，b］→S1，xei2πx是不是复叠映射？
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10．试构造T2到T2的一个2叶复叠映射，并构造从T2到Klein瓶的一个2叶复叠映射．
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11．试构造字形上的两个不同形式的4叶复叠映射．