1701046038
1701046039
1701046040
设是一个n维单形，n＞0．记L是与所在的超平面平行的n维向量空间．如果取定顶点的一个排列a0，a1，…，an，则由
1701046041
1701046042
a1－a0，a2－a0，…，an－a0
1701046043
1701046044
1701046045
1701046046
1701046047
1701046048
1701046049
确定L的一个基向量组，从而得到L的一个定向．这个定向依赖于顶点的排列．不难看出，当原排列作一次对换时，则新排列得到的定向与原定向相反．于是，当两个排列相差偶置换时，它们确定L的同一定向，相差奇置换时确定相反的定向．把顶点的全部排列（共（n＋1）！个）分为两大类：相差偶置换的排列属同一类，相差奇置换的排列属不同类．于是，每一类确定L的一个定向．基于以上几何背景，我们直接称这两个排列类为n维单形的两个定向．称取定了定向的单形为定向单形．于是顶点的任一排列a0，a1，…，an确定的一个定向，把相应的定向单形记作
1701046050
1701046051
a0a1…an．
1701046052
1701046053
1701046054
1701046055
1701046056
图6-9
1701046057
1701046058
图6-9表出1维和2维定向单形的情形．左图是1维单形（a0，a1），它的两个定向单形为a0a1和a1a0，分别是两条有向线段．右图是2维单形（a0，a1，a2），它的两个定向单形分别是a0a1a2＝a1a2a0＝a2a0a1和a0a2a1＝a2a1a0＝a1a0a2，两个定向分别是所在平面的逆时针转向和顺时针转向．
1701046059
1701046060
以上讨论对0维单形不适合，因为0维单形只有一个顶点，也就只有一个排列．为了叙述上的统一，也把0维单形称为0维定向单形．
1701046061
1701046062
本书中常用小写英文字母或希腊字母（下面不加横线）命名定向单形，如定向单形s，定向单形σ等．对定向单形也讨论面的关系，也用记号“≺”．事实上对定向单形，面的关系内涵更丰富了，以后将详细论述．
1701046063
1701046064
2.2 链群
1701046065
1701046066
设K是一个复形，0≤q≤dimK．设K有αq个q维单形，并记Tq（K）是K的所有q维定向单形的集合．于是，当q＞0时，
1701046067
1701046068
＃Tq（K）＝2αq， ＃T0（K）＝α0．
1701046069
1701046070
这里＃号表示集合含元素的个数或势．
1701046071
1701046072
定义6.5 定义在Tq（K）上的一个整值函数，如果在相反定向单形上取值为相反数，则称为K上的一个q维链．K的所有q维链的集合在函数加法运算下构成的交换群称为K的q维链群，记作Cq（K）．
1701046073
1701046074
设s为K的一个q维定向单形，则s决定K上的一个q维链如下：它在s上取值为1，在s的相反定向单形上取值为－1，其他定向单形上取值0．这个链仍记作s．于是若s′是s的相反定向单形，则看作链，s′＝－s．以后我们经常把定向单形s的相反定向单形记作－s．
1701046075
1701046076
q＝0时，K的每个顶点决定一个定向单形，因此按定义，C0（K）是由K的顶点（看作0维链）集合生成的自由交换群，秩为α0．
1701046077
1701046078
1701046079
1701046080
1701046081
1701046082
1701046083
1701046084
在q＞0时，对K的每个q维单形取定一个定向，得αq个q维定向单形，记作从定义容易看出，两个q维链c和c′相同c（si）＝c′（si），i＝1，…，αq．并且如果记ni＝c（si），则（这里si看作链）．于是，∀c∈Cq（K）有唯一的方式写成链的线性组合，也就是说自由生成Cq（K），Cq（K）是秩为αq的自由交换群．习惯上，常把链看作定向单形的线性组合，当时，把ni称为链c的系数．
1701046085
1701046086
为了叙述上的方便，我们扩大链群的定义范围，规定当q＜0或q＞dimK时，Cq（K）＝0．
1701046087