打字猴:1.701046055e+09
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1701046056 图6-9
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1701046058 图6-9表出1维和2维定向单形的情形.左图是1维单形(a0,a1),它的两个定向单形为a0a1和a1a0,分别是两条有向线段.右图是2维单形(a0,a1,a2),它的两个定向单形分别是a0a1a2=a1a2a0=a2a0a1和a0a2a1=a2a1a0=a1a0a2,两个定向分别是所在平面的逆时针转向和顺时针转向.
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1701046060 以上讨论对0维单形不适合,因为0维单形只有一个顶点,也就只有一个排列.为了叙述上的统一,也把0维单形称为0维定向单形.
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1701046062 本书中常用小写英文字母或希腊字母(下面不加横线)命名定向单形,如定向单形s,定向单形σ等.对定向单形也讨论面的关系,也用记号“≺”.事实上对定向单形,面的关系内涵更丰富了,以后将详细论述.
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1701046064 2.2 链群
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1701046066 设K是一个复形,0≤q≤dimK.设K有αq个q维单形,并记Tq(K)是K的所有q维定向单形的集合.于是,当q>0时,
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1701046068 #Tq(K)=2αq, #T0(K)=α0.
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1701046070 这里#号表示集合含元素的个数或势.
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1701046072 定义6.5 定义在Tq(K)上的一个整值函数,如果在相反定向单形上取值为相反数,则称为K上的一个q维链.K的所有q维链的集合在函数加法运算下构成的交换群称为K的q维链群,记作Cq(K).
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1701046074 设s为K的一个q维定向单形,则s决定K上的一个q维链如下:它在s上取值为1,在s的相反定向单形上取值为-1,其他定向单形上取值0.这个链仍记作s.于是若s′是s的相反定向单形,则看作链,s′=-s.以后我们经常把定向单形s的相反定向单形记作-s.
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1701046076 q=0时,K的每个顶点决定一个定向单形,因此按定义,C0(K)是由K的顶点(看作0维链)集合生成的自由交换群,秩为α0.
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1701046084 在q>0时,对K的每个q维单形取定一个定向,得αq个q维定向单形,记作从定义容易看出,两个q维链c和c′相同c(si)=c′(si),i=1,…,αq.并且如果记ni=c(si),则(这里si看作链).于是,∀c∈Cq(K)有唯一的方式写成链的线性组合,也就是说自由生成Cq(K),Cq(K)是秩为αq的自由交换群.习惯上,常把链看作定向单形的线性组合,当时,把ni称为链c的系数.
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1701046086 为了叙述上的方便,我们扩大链群的定义范围,规定当q<0或q>dimK时,Cq(K)=0.
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1701046088 2.3 边缘同态
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1701046090 复形中单形的连接关系就是“面”的关系,而相邻维数的单形间的“面”关系又是关键.有了单形定向的概念,就能更好地来刻画这种关系.
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1701046092 设s是q维定向单形,t是q-1维定向单形,并且是s的面.设a是s比t多的那个顶点.取t的顶点的一个代表其定向的排列a0a1…aq-1则定向单形aa0…aq-1与该排列的选择无关,记at=aa0…aq-1.如果s=at,就称t是s的顺向面,如果s=-at,就称t是s的逆向面.
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1701046094 例如,a1是a0a1的顺向面,而a0是a0a1的逆向面;对于2维定向单形a0a1a2来说,a1a2,a0a1和a2a0是它的顺向面,a2a1,a1a0和a0a2是逆向面.
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1701046096 对于任给s∈Tq(K),t∈Tq-1(K),规定s与t的关联系数[s;t]为
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1701046101 显然,[-s;t]=-[s;t]=[s;-t].
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