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不难看出,于是因此当时,ki=0(i=1,2,…,m).于是{z1,…,zm}是Z1(K)的基. ▎
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如果K是1维连通复形,那么H1(K)=Z1(K),它的秩m就是|K|上的“洞”的个数,因为KL中每个1维单形连结树L的两顶点,造成一个洞.对于一般连通复形K,则m是|K1|的洞数,也就是说,Z1(K)的秩就是|K1|上洞的数目.例如图6-13中的复形K的Z1(K)秩为6,|K1|的洞数就是6.K的2维单形把其中3个洞封闭了,即|K|只有3个洞,这情形正好由将Z1(K)对B1(K)作商群所反映:z3,z4以及z1-z2都是边缘链,因此H1(K)的秩为3.一般来说,任何复形K的1维同调群的秩就是|K|上的洞数,但情况可能会很复杂.洞的含义也须推广.
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笼统地讲,高维同调群反映了“高维洞”的情况.
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习 题
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1.设G是交换群,对应φ0:Tq(K)→G满足φ0(-s)=-φ0(s),∀s∈Tq(K).证明φ0可唯一地扩张为Cq(K)到G的同态.
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2.证明复形的每条1维闭链都是若干简单闭链的和.
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3.设K是n维复形,并且它的n维单形数不超过n+1,证明Zn(K)=0.
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4.设K是E2中的2维复形,证明Z2(K)=0.
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5.设K是树,证明K的顶点数比1维单形数大1.
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6.设K是连通复形,αq是K的q维单形个数,q∈Z.证明Z1(K)的秩等于α1-α0+1.
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7.设K是连通复形,a和b是K的两个顶点.证明K有1维简单链分别以a和b为起、终点.
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§3 同调群的性质和意义
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本节从同调群的定义出发,讨论它的一些简单性质;并讨论0维同调群的几何意义,1维同调群与基本群的关系;我们还将建立著名的Euler-Poincaré公式.
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3.1 同调群的简单性质
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复形K的q维闭链群Zq(K)由同态∂q:Cq(K)→Cq-1(K)决定,q维边缘链群由∂q+1:Cq+1(K)→Cq(K)决定,因此,Hq(K)只与K的链复形中段有关.
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命题6.4 当r>q时,
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证明 显然就是由此得到 ▎
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当q<0或q>dimK时,因为Cq(K)=0,所以Zq(K)=0,Hq(K)=0.
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当q=dimK时,因为Cq+1(K)=0,所以Bq(K)=0.于是Hq(K)=Zq(K),它是自由交换群.
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当q=0时,Z0(K)=C0(K).
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