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不难看出，于是因此当时，ki＝0（i＝1，2，…，m）．于是｛z1，…，zm｝是Z1（K）的基． ▎
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如果K是1维连通复形，那么H1（K）＝Z1（K），它的秩m就是｜K｜上的“洞”的个数，因为KL中每个1维单形连结树L的两顶点，造成一个洞．对于一般连通复形K，则m是｜K1｜的洞数，也就是说，Z1（K）的秩就是｜K1｜上洞的数目．例如图6-13中的复形K的Z1（K）秩为6，｜K1｜的洞数就是6．K的2维单形把其中3个洞封闭了，即｜K｜只有3个洞，这情形正好由将Z1（K）对B1（K）作商群所反映：z3，z4以及z1－z2都是边缘链，因此H1（K）的秩为3．一般来说，任何复形K的1维同调群的秩就是｜K｜上的洞数，但情况可能会很复杂．洞的含义也须推广．
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笼统地讲，高维同调群反映了“高维洞”的情况．
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习 题
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1．设G是交换群，对应φ0：Tq（K）→G满足φ0（－s）＝－φ0（s），∀s∈Tq（K）．证明φ0可唯一地扩张为Cq（K）到G的同态．
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2．证明复形的每条1维闭链都是若干简单闭链的和．
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3．设K是n维复形，并且它的n维单形数不超过n＋1，证明Zn（K）＝0．
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4．设K是E2中的2维复形，证明Z2（K）＝0．
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5．设K是树，证明K的顶点数比1维单形数大1．
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6．设K是连通复形，αq是K的q维单形个数，q∈Z．证明Z1（K）的秩等于α1－α0＋1．
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7．设K是连通复形，a和b是K的两个顶点．证明K有1维简单链分别以a和b为起、终点．
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基础拓扑学讲义 [:1701040231]
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§3 同调群的性质和意义
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本节从同调群的定义出发，讨论它的一些简单性质；并讨论0维同调群的几何意义，1维同调群与基本群的关系；我们还将建立著名的Euler-Poincaré公式．
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3.1 同调群的简单性质
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复形K的q维闭链群Zq（K）由同态∂q：Cq（K）→Cq-1（K）决定，q维边缘链群由∂q+1：Cq+1（K）→Cq（K）决定，因此，Hq（K）只与K的链复形中段有关．
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命题6.4 当r＞q时，
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证明 显然就是由此得到 ▎
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当q＜0或q＞dimK时，因为Cq（K）＝0，所以Zq（K）＝0，Hq（K）＝0．
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当q＝dimK时，因为Cq+1（K）＝0，所以Bq（K）＝0．于是Hq（K）＝Zq（K），它是自由交换群．
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当q＝0时，Z0（K）＝C0（K）．
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