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证明 分别记λq＝rank（Zq（K）），μq＝rank（Bq（K））．利用附录A中的定理A.2，从Hq（K）＝Zq（K）/Bq（K）可得到
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βq＝λq－μq， 0≤q≤n．
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又因为Bq－1（K）和Zq（K）分别是∂q∶Cq（K）→Cq－1（K）的像与核，所以有于是
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μq－1＝αq－λq， 0≤q≤n
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（令μ-1＝0），两式相加，得到
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αq－βq＝μq＋μq－1， 0≤q≤n．
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于是
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μn＝μ-1＝0，因此 ▎
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下章我们将说明Hq（K）是由｜K｜的拓扑所决定的，因此是｜K｜的拓扑不变量．αq由K决定，因此从表面上看，x（K）似乎由K的组合结构决定．定理说明了x（K）与剖分K的选择无关，它反映了｜K｜的拓扑性质．
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3.5 以交换群G为系数群的同调群
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在建立同调群的过程中，Z可以用任何交换群G代替，得到系数群为G的同调群．下面简要地回顾一下过程．
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复形K的以G为系数群的q维链群为
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Cq（K；G）∶＝｛对应c∶Tq（K）→G｜c（－s）＝－c（s），
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∀s∈Tq（K）｝，
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加法由（c＋c′）（s）＝c（s）＋c′（s）规定．一般地，q维定向单形s∈Tq（K）不再能看成一个q维链，但∀g∈G，gs是一个q维链，∀t∈Tq（K），
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这种形式的q维链生成了Cq（K；G）．规定gs的边缘链∂q（gs）∈Cq－1（K；G）为
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∂q（gs）（t）＝［s；t］g， ∀t∈Tq－1（K）．
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用线性扩张得到边缘同态∂q∶Cq（K；G）→Cq－1（K；G），它也满足∂q－1∂q＝0，从而得到K的以G为系数群的链复形C（K；G），并由它产生K的以G为系数群的同调群Hq（K；G）．
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特别当G是域时，Cq（K；G），Zq（K；G）和Bq（K；G）都是G上的线性空间，Hq（K；G）作为Zq（K；G）对子空间Bq（K；G）的商也是线性空间．记dq＝dimHq（K；G），则利用线性空间维数的加法公式也可得到相应的Euler-Poincaré公式：