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证明
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∀q≠0．
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5．利用Euler-Poincaré公式证明树的顶点数比1维单形数大1．
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6．详细写出关于以域G为系数群的Euler-Poincaré公式的证明．
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7．设K是连通复形，G为交换群，证明
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基础拓扑学讲义 [:1701040232]
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§4 计算同调群的实例
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和基本群不同，同调群的定义本身给出了计算它的途径．但是一般来说，按照定义作计算，工作量是很大的．下面通过几个实例介绍一些计算中的技巧．
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例1 单纯锥是零调的（零调的定义见§3习题4）．
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设K是单纯锥，a为一个锥顶．
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K是连通的，因此下面证明
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Hq（K）＝0，q＞0．
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如果K只有一个顶点a，结论显然．下面讨论K不只一个顶点的情形，记L是K中所有不以a为顶点的单形构成的子复形，称为单纯锥K的锥底（相对于锥顶a的）．
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当q＞0时，对于L中的q－1维链c＝Σniti，规定K中的q维链．
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ac∶＝Σniati．
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不难得到，
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∂q（ac）＝c－a∂q－1c
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（习题1）．
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当q＞0时，K中q维定向单形或在L中，或可写成at或－at的形式，其中t∈Tq－1（L）．因此，∀c∈Cq（K）有唯一的分解式
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c＝c′＋ac″，
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其中c′∈Cq（L），c″∈Cq－1（L）．如果c∈Zq（K），则
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0＝∂qc＝∂qc′＋c″－a∂q－1c″，
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其中∂qc′＋c″∈Cq－1（L）．于是有
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