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∂qc′+c″=0和∂q-1c″=0.
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取则
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因此c∈Bq(K).我们证明了q>0时Zq(K)=Bq(K),从而Hq(K)=0.于是,单纯锥是零调的.
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例2 设是n维单形,n>1,则K是单纯锥,因此有
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设则L是K的n-1维骨架(它只比K少一个n维单形).于是,当q<n-1时,Hq(L)=Hq(K)(命题6.4).显然q≥n时Hq(L)=0.只剩下Hn-1(L)了.
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因为Bn-1(L)=0,所以
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Hn-1(L)=Zn-1(L)=Zn-1(K).
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又因为Hn-1(K)=0,所以Zn-1(K)=Bn-1(K).K只有一个n维单形,并且∂n∶Cn(K)→Cn-1(K)是单同态,因此
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于是我们得到,对n维单形
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如果n=1,则是两个顶点的0维复形,因此
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对n>1的情形,也可利用Euler-Poincaré公式计算,请读者自己试一下.
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图6-16
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