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因此有∂qηq＝ηq－1∂q．归纳定义完成．
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定理7.3 η诱导的同调群同态η*q∶Hq（K）→Hq（K（1））是同构，并且以π*q为逆（π是标准链映射），∀q∈Z．
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证明 定理C.3说明η*qπ*q＝id∶Hq（K（1））→Hq（K（1）），∀q∈Z．只须再证明π*qη*q＝id∶Hq（K）→Hq（K），∀q∈Z．事实上有πqηq＝id∶Cq（K）→Cq（K），∀q∈Z．我们用归纳法论证这断言．
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q＝0时，结论显然成立．
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设p＜q时，πpηp＝id∶Cp（K）→Cp（K）．
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∀s∈Tq（K），记s＝a0a1…aq，不妨设则根据π和η的定义，有
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从而πqηq＝id∶Cq（K）→Cq（K）． ▎
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对所有复形K，都用η表示重分链映射．
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对于任意自然数r，记ηr是r个重分链映射
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的复合（每个η的含义不同）．按这种约定，有
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ηr＋s＝ηrηs．
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同样，记πr∶C（K（r））→C（K）是r个标准链映射（每个的含义不同）的复合，它由id∶｜K（r）｜→｜K｜的单纯逼近所导出，并且也有
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πr＋s＝πrπs．
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我们有互逆的同构
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∀q∈Z．
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3.2 f*q的规定
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命题7.9 如果φ∶K（r）→L和ψ∶K（r＋s）→L都是f∶｜K｜→｜L｜的单纯逼近，则∀q∈Z．
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