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两式相加，得到
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记n＝dimK，则又于是
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定理8.5的证明 我们证明定理的逆否命题，即如果f没有不动点，则L（f）＝0．
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规定ρ∶X→E1为ρ（x）＝d（x，f（x））．因为X紧致，ρ有界，且在某点x0达到最小值δ．因为f没有不动点，δ＝d（x0，f（x0））＞0．取X的剖分K，使得Mesh（K）＜δ/2．不妨设X＝｜K｜．取r使f有单纯逼近φ∶K（r）→K．则从而特别地对K（r）的任一顶点b，
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对K的每个q维单形取好定向，得到Cq（K；R）的一个基设它在该基下有方阵A＝（aij），则aii就是ξq（si）在si上所取的值．根据定义，是si“分割”成的许多定向单形之和，记则ξq（si）＝Σφq（σij）．对每个σij，它的任一顶点因而φ（b）不是的顶点（否则d（b，φ（b））≤δ/2）．于是φq（σij）≠±si．这说明ξq（si）在si上取值为0，从而aii＝0，
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∀q∈Z．
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｛f*q｝是由链映射｛ξq｝诱导的，根据引理2，
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例 如果则对任何连续映射f∶X→X，L（f）＝tr（f*0）＝1，因此f总有不动点．如Dn、P2以及任何可缩的多面体都符合要求．
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习 题
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1．证明L（f）是同伦不变量，即当时，L（f）＝L（g）．
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2．设K的Euler示性数x（K）≠0，证明若则f有不动点．