1701048680
或简单写成G＝｛X｝．
1701048681
1701048682
下面再给出两个简单的例子．
1701048683
1701048684
若G是以a和b为基的自由交换群，则
1701048685
1701048686
G＝｛a，b；aba-1b-1｝．
1701048687
1701048688
设x是n阶循环群Zn的生成元，则
1701048689
1701048690
Zn＝｛x；xn｝．
1701048691
1701048692
用母元和关系来看群的自由乘积，有很简单的表达形式．当两个群都用母元和关系来表示时，则它们的自由乘积的一个表示可用以下方式得到：把两个群的母元组作无交并，两个群的关系组也作无交并，分别得到自由乘积的表示中的母元组和关系组．以上结果的论证这里略去了．
1701048693
1701048694
7．群的交换化
1701048695
1701048696
设G为群，∀a，b∈G，记
1701048697
1701048698
［a，b］＝a-1b-1ab，
1701048699
1701048700
1701048701
称作a与b的换位子．容易看出，ab＝ba［a，b］＝1．记
1701048702
1701048703
G′＝｛x∈G｜x是有限个换位子的乘积｝，
1701048704
1701048705
则容易看出G′是G的子群，称为G的换位子群．G′还是G的一个正规子群．因为如果x∈G′，y∈G，则
1701048706
1701048707
y-1xy＝［y，x-1］x∈G′．
1701048708
1701048709
1701048710
1701048711
记不难验证，是一个交换群，称为G的交换化．
1701048712
1701048713
1701048714
1701048715
1701048716
1701048717
1701048718
命题A.10 设f∶G1→G2是一个同态，记是Gi的换位子群，是投射（i＝1，2），则并且存在同态使得右边的图表交换．
1701048719
1701048720
1701048721
1701048722
1701048723
1701048724
1701048725
证明 因为由G1的全体换位子生成，而对每个换位子［a，b］，由于所以于是j2f（G1）＝0，从而它诱导使右面图表可交换． ▎
1701048726
1701048727
1701048728
1701048729