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13．取定V中一点e0，记b0＝p（e0）∈U．对U中任一点b1，有U中道路a，连结b0和b1．记是a的提升，它以e0为起点，则从而在V中．于是这样就得到U⊂p（V）．显然p（V）⊂U．从而p（V）＝U．
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14．只要证明p｜V∶V→U是单的．
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用反证法．假设p｜V不单，它把V中两个不同点e0和e1映为U中同一点b0．取是V中从e0到e1的道路，则是U在b0处的闭路．因为iπ∶π1（U）→π1（B）平凡，所以a在B中定端同伦于b0处的点道路，从而它在e0处的提升一定是闭路，与假设矛盾．
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（本题还可用下节中的定理5.3，见下节习题2的解答．）
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15．设U是底空间B的半单连通开子集．由13题知，p-1（V）的每个道路分支Vα满足p（Vα）＝U，由第14题知p｜Vα∶Vα→U还是同胚，从而U是基本邻域．
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16．记U是B的一个半单连通的开子集，则p-1（U）的每个分支Vα也半单连通．
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17．∀b∈B，设U是b的一个半单连通开邻域，则U是p∶E→B的基本邻域．p-1（U）的每个分支也都半单连通，从而又都是的基本邻域．于是分解为E1中的许多开集之并，每个开集被同胚地映射成p-1（U）的一个分支，从而被同胚地映射成U．这说明U也是的基本邻域．
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18．∀b∈B．设p-1（b）＝｛e1，e2，…，en｝．可取b的基本邻域U，使得p-1（U）的各分支V1，…，Vn分别是e1，…，en的在下的基本邻域．类似于第17题，可证明这样的U也是的基本邻域．
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§2
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1．设F是常值映射到f的一个同伦，则F可以提升（定理5.2），得到本题的结论．
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2．本题即上节习题15，上面已给解答．也可应用定理5.3．设V是p-1（U）的一个道路分支，则由上节第13题，得p（V）＝U．取定e0∈V，记b0＝p（e0）．由定理5.3，存在唯一一个提升h∶U→E，使得h（b0）＝e0．则h（p｜V）就是p｜V∶V→B的提升，并由提升唯一性知道h（p｜V）就是包含映射．由此可推得p｜V∶V→U是单一的．于是p｜V∶V→U是开的一一对应，即是同胚．于是U是基本邻域．
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3．因为π1（S2）平凡，f总可提升为零伦，从而f也零伦．
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4．同上题．因为π1（T2）是自由群，π1（P2）到π1（T2）的同态只有平凡同态．
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5．按照定义验证．
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∀e∈E2，记b＝p2（e）．取p2∶E2→B的含b点的道路连通的基本邻域U．记V是中包含e点的分支，则p2｜V∶V→U是同胚．不难证明的每个分支Wα或者h（Wα）⊂V，或者h（Wα）∩V＝∅，并且h-1（V）就是满足h（Wα）⊂V的那些Wα之并．对每个这样的Wα，（p2｜V）（h｜Wα）＝p1｜Wα∶Wα→U是同胚，其中p2｜V也是同胚，从而h｜Wα∶Wα→V是同胚．这说明h是复叠映射．
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§3