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然而这有一个颇有意味的长期后果。短期的结果是，作为一个竞争者，形式主义看起来非常受人欢迎——在相当长一段时间内是这样。但希尔伯特的胜利没有维持多长时间，因为在1930—1931年，年轻的奥地利逻辑学家哥德尔提出了一个证明，该证明在根本上表明希尔伯特的形式主义计划不可能得到实施（详见第7章）。哥德尔的成果震动了整个数学界，也击垮了希尔伯特对解决所有数学问题的乐观信念。
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但希尔伯特坚定的乐观心态使他不愿相信这一切。1931年，他在最后的广播讲话中说：“Wir mussen wissen. Wir werden wissen.”（我们必须知道，我们应该知道。）这句话也刻在了他的墓碑上。1943年，他去世了。
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我在前面提到的颇有意味的长期结果就是：哥德尔的论文几乎彻底摧毁了形式主义，于是只有仍然活着的直觉主义者能够高昂着头说：“我告诉过你这些。”但是一般而言，数学家们倾向于避开基础问题和数学哲学问题。
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在《数学杂志》（Mathematics Magazine）的一篇文章中，恩斯特·斯莱帕（Ernst Snapper）写道：
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不过，三个学派（逻辑主义、形式主义、直觉主义）仍然有很强大的影响，既然他们曾给我们很多新颖和美妙的数学知识。这些数学知识主要关注集合论，直觉主义和建构主义者(43)对它的各种修正，以及数学逻辑和它的很多分支（包括为计算机发展所作的基础研究）。但是，虽然这种数学经常被称为“数学的基础”，但是不能因为我们在这些领域之一工作，我们就可以宣称，我们在改进数学哲学。同几何或分析一样，现代数学逻辑、集合论和修正过的直觉主义，现在是数学的技术分支。如果我们不直接转回到数学哲学上来，我们就不要指望能为我们的科学找到一个坚实的基础。很明显，对于技术型的数学研究来说，这样一个基础是不必要的，但在我们中间，还是有很多人渴望找到它(44)。
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确实，基础而统一的数学理论仍然是难以界定的。斯莱帕相信：“数学基础的关键隐藏在逻辑主义、直觉主义和形式主义的哲学根基之中。”(45)
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(1) 罗素，1919年（1993年），引自斯雷特（Slater），1994年，导言。
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(2) 佩克豪斯（Peckhaus），2003年，第3页。
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(3) 这实际上是他发表的23个问题中的第6个。
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(4) 巴罗文集，1992年，第112页。
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(5) 伯顿文集，1991年，第657页。
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(6) 外尔，雷德文集，1970年，第264页。
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(7) 参见：如第8章；巴罗，1992年，第114页。
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(8) 巴罗文集，1992年，第195—196页。
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(9) 德克·范·达伦，私人交流，2005年8月11日和16日。
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(10) 范·达伦，1990年，第18页。
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(11) 雷德，1970年，第6页。
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(12) 同上。
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(13) 同上书，第94页。
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(14) 辛普森文集，1986年，第3页。源于希尔伯特“关于无穷”，范·埃让诺尔（van Hei jenoort）文集（第8章），第367—392页。
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(15) 辛普森，1986年，第4页。
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(16) 范·达伦，1999年，第ix—x页。
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(17) 他还说，自从1907年，他一直都捍卫这个观点。1920年12月18日，他向皇家科学院递交了论文。曼科苏（Mancosu）文集，1998年，第23页。
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(18) 雷德，1970年，第149页。
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(19) 奥康纳文集，2003年，第3页。
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