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因为康德是用人脑细胞来制造空间，在他看来没有理由不把它做成欧几里得式的。它没有能力构想另一种几何学，因而他相信没有另一种几何学。因此他保证欧氏几何学的真理性，同时也保证先天综合命题的存在。如此，欧几里得几何学中的规律不是宇宙中固有的，宇宙也不是由上帝这样设计的。这些规律是人类整理感觉并使感觉合理化的机制。至于上帝，康德说上帝的本性在我们的理性知识范围之外，不过我们还是应该相信其存在。康德在哲学上的大胆为其几何学上的鲁莽所超越，因为尽管他从来没有走出其东普鲁士的故乡柯尼斯堡城十英里之外，他仍能确定关于世界的几何学。
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科学中的数学规律如何解释？因为所有的经验都是根据空间和时间的智力结构来把握的，数学必定可适用所有的经验。在他的《自然科学的形而上学基础》（Metaphysical Elements of Nature Science, 1786）一书中，康德承认牛顿定律及其推论都是自明的。他宣称已证明牛顿第一运动定律可由纯粹理性推出，并且只有设定这一定律，自然界对于人类理性才是可理解的。
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更一般地说，康德论证道，科学的世界就是心智根据固有的范畴如空间、时间、因果和实体所安排调节的感官印象的世界。心智包含着客人必须适用的家具。感官印象的确起源于实在世界，不幸的是这样的世界是不可知的。只有通过知觉的心智所提供的主观范畴，现实才是可知的。因而，除了根据欧几里得几何和牛顿力学，没有别的方式能够整理经验。
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对于康德来说，当经验扩展和新科学的形成时，心智并不是通过从这些新经验中概括来得出新原理；相反，以前没用过的心智机能被利用起来以解释这些新经验。心智的想象力由经验所照明。这可以解释为什么有些真理认识得相对晚一些——如力学定律——而有些几个世纪以来已为人所知。
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康德还说，我们不能指望仅仅通过感官认识来获得可靠的知识。我们永远不会知道实在事物自身。如果我们能够确定地知道什么，这一定是心智考察了从外界接受的材料的结果。
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康德哲学在这里仅仅简单论及。他颂扬了理性，不过康德分配给理性的任务不是探索自然界而是探索人类心智的深处。经验作为知识中的必要因素得到应有的承认，因为感觉从外部世界提供了心智加以整理的原料。数学作为心智的必然规律的显露者而保留了其位置。
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从康德知识论的概述中可以明显看出，他将数学真理的存在作为其哲学的中心支柱。他尤其依赖于欧几里得几何学的真理性。不幸的是，19世纪发明的非欧几何摧毁了康德的论证。
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尽管康德哲学极其优越，受到尊崇，19世纪大名鼎鼎的英国哲学家约翰·斯图亚特·穆勒（John Stuart Mill, 1806—1873）还是回到休谟的观点并作了一些改动。作为一个实证主义者，穆勒宣称，知识主要来自感官，而且还包括有意识的心智关于感官证据形成的关系。无法证明一个外部世界存在，但也没有证据表明它不存在。
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当我们说一个外部对象时，我们的意思是，不管我们想到与否，某物存在着，即使我们从其得到的感觉改变了，它还是保持不变，并且对于许多观测者来说都一样，而感觉却不是这样。对于穆勒来说，关于外部世界的概念只是在较小程度上由实际的感觉构成，而在更大程度上是由可能的感觉构成——不是由正在感觉的，而是由转过头去就会感觉到的构成。物质是感觉的永久可能性。记忆力在这种知识中起作用。
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不管怎么说，关于外部世界的知识只能通过感觉来获得。这种知识是不完美的，我们不知道它的确切限度和范围。从感觉中获得的简单观念由心智组合成复杂观念；然而这种知识是有名无实的。归纳知识永远不会是确定的，只能是可能的。但是无论对于科学来说还是作为我们生活的指南，这种知识是我们所能得到的最佳知识。
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对于穆勒来说，数学中譬如说欧氏几何中的结论，只是在它们从前提中推出的意义上才是必然的。然而，那些前提——公理——是基于观察的，是经验的概括。算术和代数也是建立在经验之上。表达式2＋2=3＋1＝4是心理概括。代数只是这种概括的更抽象的推广。
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所以穆勒发现归纳法至关重要，因为它是可能的概括如自然规律的源泉。原因只是此后的事件的居先者。那个事件有一个原因，这是从经验中推出的。它是对大自然的齐一性原理的准确表述。
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这样，在实验知识之外没有知识是可能的，也没有知识是必要的。经验和心理可以解释我们所有的知识，它们是我们相信外部世界存在的依据。穆勒是一个经验主义者，不过他与休谟的怀疑主义不同。他的观点与20世纪的经验主义和逻辑实证主义接近，甚至可以说开创了后两者。
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以上概述了主要哲学家关于外部世界的存在和我们知识的可靠性的观点，从中可得出什么结论呢【1】？我们采取爱因斯坦所表述的立场：
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相信有一个独立于知觉主体的外部世界的存在，是一切科学的基础。但是既然我们的感官知觉只能间接地告知我们这世界或物理实在的情形，只有通过推测，这世界对于我们才是可理解的。
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经验不能证明实在，经验是属于个人的。
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尽管我们采取经验主义的立场，致力于弄明白关于外部世界我们能获知什么，我们还是应该以我们的感官知觉是否可靠开始。这我们打算在第1章讨论。我们主要关心的是，数学家能够做什么来纠正我们的错觉，特别是，揭示完全不能知觉的物理现象。
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【1】 关于现代哲学家的观点，我们在后面的章节会讨论得更多，而这些哲学家受了我们拟探讨的数学创造的影响。
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数学与知识的探求 第1章 感官与直觉的失败
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感官知觉乃感官迷惑。
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笛卡儿
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关于外部世界我们能知道什么这个问题，尽管有贝克莱的否认，休谟的限制，以及赫拉克利特、柏拉图、康德和穆勒的保留态度，物理学家和数学家还是相信有一个外部世界存在。他们会论证说，即使人类突然被毁灭，外部的或物理的世界将继续存在。当森林中一棵树轰然倒地，即使无人在场听见，也有声音产生。我们有五种感觉——视觉、听觉、触觉、味觉和嗅觉——每一种都不断地从这外部世界接受信息。不管我们的感觉是否可靠，我们的确是从外部的源头获得信息的。
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出于实用的理由，譬如说保持生存或可能改善在外部世界中的生活，关于这个世界我们当然想知道得尽可能地多。我们必须区分陆地和海洋，栽种食物，建筑避身处，保护自己免受野兽之害。为什么我们不能依赖于感官来达到这些目的？原始文明已做到了这一点。然而，正如对于心灵纯洁的人来说世界是纯洁的，对于头脑简单的人来说世界是简单的。
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