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托勒密写道：“让任何人见到我们设计的困难而不觉得我们的假说麻烦”，不过迷惑不解的读者可能会想表示异议。毕竟，科学并不预先保证大自然会是简单的。
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从我们的观点来看，对点是托勒密的大师手笔，是一个完全原创、完全成功的方案，预示了开普勒的椭圆。而对于这位伟大的天文学家以后的批评者来说对点的闯入损害了天体运动神圣的第一原理，这第一原理坚持的是只有相对于圆心来说的运动齐一性。在某些人看来，对点是真正引起公愤之事，这后来促使哥白尼采取地球运动的方案。伟大的科学革命有一个多么奇怪的起源啊！
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为增进他关于月亮、太阳和行星运动的精彩方案，托勒密按照它们离地球的距离来排序，不过这里他出了错。他知道他对天体体积的估算是粗糙的，因为没有好的天文学仪器可用。
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哲学上的反对暂且不管，《至大论》的几何学成就是辉煌的。然而，我们很容易相信托勒密好探求的头脑会愿意用对天空真实材料的描述来补充这些承认是想象的圆。将数学理论和可触摸的实在结合起来，将天文学家的描述工作和物理学家的解释功能结合起来，这一古老的见识在这建立几何模型的早期阶段几乎没有减弱。而实际上，两者的区别却越来越大。因为数学对非圆形轨道的坚持，以及对非地球的旋转中心的坚持，看来与合理的亚里士多德原理令人痛苦地不一致。许多希腊化时代的宇宙学家干脆置亚里士多德的物理学不顾，但数学设计不断增加的复杂性一定在许多其他思想家中引起了不断增长的对实在的疏离感，甚至也许还引起了对亚里士多德简单性乐园的怀旧感。
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托勒密在有些领域形象不佳。有些读者对于《至大论》望而生厌，因为其真实或想象的笨重的学究气，也因为其盘根错节的复杂几何学：
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在天空上
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涂抹些同心轨道和偏心轨道
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圆连着本轮，天球套着天球。
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然而，它自加限制只用齐一的圆形轨道，除了容许月亮离地球过度变化的距离外，托勒密描述天体轨道的精确度足以匹配观测数据的准确度。而且圆的倍增证明了这位伟大的天文学家面对大自然的复杂性所表现的勇气和技巧。对点的引入是第一流的数学创造，使托勒密特异于其最有才智的先驱。《至大论》应该排在科学史上最有影响的书籍之列，尽管其中解说的许多特征，尤其是居于中心不动的地球，保留了日常经验的信念和多个世纪积累的“智慧”。
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从探求真理的角度来看，值得注意的是，像优道克苏斯一样，托勒密充分认识到他的理论只是一种符合观察资料的方便的数学描述，而不一定必然是大自然的真实设计。对于有些行星他有另外的方案可供选择，不过他选择了数学上更简单的。托勒密在其《至大论》的第三卷中说，在天文学中应该寻求尽可能简单的数学模型。然而托勒密的数学模型被基督教世界接受为真理。
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托勒密理论为大自然的齐一性和不变性提供了第一个合理完整的证据，是对柏拉图将现象合理化问题的最终的希腊解答。总而言之，托勒密理论的伟大意义在于，它证明了数学在将复杂甚至神秘的现象合理化中的力量。理解大自然甚至发现完全未知的现象，从它的第一个辉煌的成功中获得了动力和鼓励。
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数学与知识的探求 第4章 哥白尼和开普勒的日心说
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不过它在动。
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伽利略
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这一章的主题是一个经常讲述的故事，是关于采纳行星系统的日心说理论，来代替托勒密的地心说。当然，日心说现在看来是正确的理论——但是为什么我们会接受它呢？它与我们的基本感觉是相背离的。接受关于物理世界的概念得如此彻底地改变，数学在其中起作用吗？
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根据日心理论，地球绕它的轴旋转，每24小时旋转一周。这就意味着赤道上的人在24小时中旋转25000英里，或者说速度是大约每小时1000英里。我们可以根据我们在汽车中每小时行驶100英里的经验来判断这一难以置信的高速度。此外，地球还围绕太阳公转，速率是每秒钟18英里，或者说每小时64800英里，这又是一个难以置信的速度。然而在地球上我们既感觉不到自转又感觉不到公转。而且，如果我们即使以每小时100英里的速度旋转，为什么我们不会被抛入太空？我们多数人都骑过旋转木马，它的旋转速度是大约每秒钟100英尺，而我们会感到有种力，如果不抓紧旋转木马上的固定物，那种力就会把我们抛到空中。
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然而，我们今天接受日心理论作为对事实的描述，尽管旧的地心理论还在我们的日常语言中留下痕迹。我们仍然说太阳自东方升起在西方落下。从而是太阳在动而不是我们随旋转的地球在动。
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为什么数学家和天文学家作了如此巨大的改变，转到日心理论？我们将会看到，在这场革命中数学起了决定性的作用。我们已见到（在第2章中），欧洲人获悉了强调大自然的数学设计的古希腊著作。这一信念又为天主教教义所强化，这教义在中世纪起主导作用，即上帝设计了宇宙。大概数学就是这设计的精髓。
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在意大利文艺复兴期间，古希腊的数学著作从各种来源重新获得，并为博学之士所购买。意大利城镇中那些有魄力的商人，当他们辅助古希腊文化的复兴时，得到的比他们预料的要多。他们只是想促进一种更自由的气氛，但他们收获了旋风。他们不能继续在一个不动的地球的坚固根基上居住和繁荣，而是不稳定地附着在一个快速旋转的球上，而这个球又以难以想象的速度围绕太阳运动。冲击地球使其自由旋转和公转的同一个理论也解放了人的头脑，这大概是对这些商人的可怜的回报。
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复兴的意大利大学是这些思想之花的肥沃的土壤。就是在这里，尼考拉·哥白尼（Nicolaus Copernicus）浸染了希腊信念：大自然的行为可由数学规律的和谐的集成曲来描写；也正是在这里，他熟悉了也是起源于希腊的假说——行星围绕固定的太阳运动。在哥白尼的头脑中这两种观念融合了。大自然的和谐要求一种日心理论，他愿意移动天空和地球来建立它。
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哥白尼1473年生于波兰。在克拉科夫大学学习了数学和科学以后，他决定前往波隆纳，因为那里学问更加普及。在那里他在有影响力的教师多米尼克·马里亚·诺沃拉指导下学习天文学，这是一个最重要的毕达哥拉斯主义者。1512年哥白尼接受了东普鲁士弗劳恩伯格大教堂的教士职位，他的职责是做教堂财产的管家和治安官。在他的生命中余下的31年中，他花了大量时间在教堂的小塔上用肉眼仔细观察行星，并用粗糙的自造仪器作了数不清的测量。他将剩下的空闲时间都用于改进他关于天体运动的新理论。
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哥白尼已出版的著作对于他献身于天文学的理由给予了明确无误（尽管是间接的）的表述。根据这些表述来看，他的智性兴趣和宗教兴趣是主要的。他看重自己的行星运动理论，并非因为它改进了导航程序，而是因为它揭示了神的工作室中的真正的和谐、对称和计划。它是神之在场的奇妙的压倒一切的证据。在谈到其经30年而成的成果时，哥白尼抑制不住自己的感激之情：“因此，我们在这有秩序的安置之后，发现了宇宙中奇妙的对称，轨道运动和大小之间的确定的和谐关系，这些通过其他方式是得不到的。”在其巨著《论天体的运行》（On the Revolution of the Heavenly Spheres, 1543）中，他的确提到了应拉特兰议教会之请，改进许多世纪以来已变得混乱的历法。他写道，他将此问题牢记在心，不过很明显，这从来没有主导他的思想。
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当哥白尼着手处理行星运动问题时，阿拉伯人为提高托勒密理论的准确性，已增加了更多的本轮。为描述太阳、月亮和当时已知的5个行星的运动，他们的理论总共需要77个本轮。在包括哥白尼在内的许多天文学家看来，这理论复杂得足以引起公愤。
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