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埃拉陶斯塞奈斯观察到在修埃乃（现今的阿斯旺）在夏至那天正午，太阳没有在任何物体上留有影子；而同时在亚历山大城，日晷的指示器投下的影子等于一个全圆的1/50。设定两城在同一子午线上相距5000斯达戴斯（stades，一个我们不能计算的希腊单位，见图19），并且太阳的光线到达地球上的不同地方时是平行的（在当时是很尖端的观念），埃拉陶斯塞奈斯利用直接的几何学论证来证明亚历山大城和修埃乃之间的弧距离必定是地球周长的1/50，这样就可以算出地球的周长是250000斯达戴斯。他的假设中有两个是错误的：1）亚历山大城和修埃乃事实上不在同一子午线上；2）阿里斯塔库斯只是根据国王的信使在两城之间奔跑所需要的时间来计算它们的距离。不管怎么说，埃拉陶斯塞奈斯的成就的短期意义与其说由于其精确度还不如说由于它作的榜样和它带有的信念。这是对于正在增长的量化天文学趋向的继续和鼓励，也提供了我们可以最终度量最遥远的星星的标尺。
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图19
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阿里斯塔库斯和埃拉陶斯塞奈斯的量化方法不久被扩展成太阳系的量化理论。当然不管这些天体运动的模型只是构想为数学构造还是被看成是物理实在的镜子，都始终保持着最终的目标：重现或预言天体在天空上的实际路径。从优道克苏斯的时代直到我们将要描述的思想家的时代，数学天文学家提出的各种各样的修正的确利用了其先驱提出的观念。
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希腊天文学的巅峰和决定性的成就是黑帕库斯（Hipparchus, 死于公元前125年）和克劳狄乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy, 死于公元168年）所取得的成果。黑帕库斯主要生活在赫劳戴斯。在他的活跃期即大约公元前150年，赫劳戴斯是一个商业上和思想上都很繁荣的希腊城邦，足以匹敌亚历山大城。黑帕库斯充分了解亚历山大城的进展。例如他熟悉埃拉陶斯塞奈斯的《地理学》（Geographica），并写下了对它的批评。他拥有更古老的巴比伦人的观测数据以及自公元前300年至公元前150年亚历山大城的观测数据。当然他自己也做了许多观测。
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优道克苏斯的方案假设天体附着在以地球为中心的旋转球体上，黑帕库斯认识到这一方案不能解释由其他希腊人和他自己观察到的许多事实。为替代优道克苏斯的方案，黑帕库斯假设，一行星P（见图20）沿着一个圆即本轮的圆周以恒定的速度运动，而本轮的中心Q沿着以地球为中心的另一个圆周以恒定的速度运动。适当地选取两个圆的半径以及Q和P的速度，他就能得到许多行星运动的准确描述。根据这个方案，一个行星的运动类似于根据现代天文学得出的月球的运动。月球围绕地球运转而同时地球围绕太阳运转。月球围绕太阳的运动类似于在黑帕库斯体系中行星围绕地球的运动。
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图20
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在有些天体的情形中，黑帕库斯发现有必要运用三四个圆，一个沿着另一个运转。也就是说，一个行星P沿着一个以数学点Q为中心的圆周运动，点Q沿着以点E为中心的圆周运动，而点R沿着以地球为中心的圆周运动。同样，每一个物体或点以自己的恒定速度运动。在有些情况下，黑帕库斯不得不假设最里面的圆即“从圆”的中心不在地球上，而是在其近旁。在这个几何构造中的运动叫作偏心的，而圆的中心是地球时，这样的运动叫作本轮的。利用这两种类型，并适当地选取圆的半径和速度，黑帕库斯能够很好地描述月球、太阳和当时所知的五个行星的运动。利用这个理论能够预言月食，误差在一两个小时之内；预言日食则准确度差一些。
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我们不能概述黑帕库斯的所有成就，但我们应该注意影响了后来的天文学的精彩发现：“分点岁差。”分点——天球赤道的平面、黄道和地球轨道的交叉点——缓慢而有规则地变化，大约26000年完成一个周期。黑帕库斯编纂了最早的星表，最终给大约850个恒星定位。就是在编纂过程中他获得了对分点岁差的洞察。他还估算太阳年的长度为365天5小时55分，比现代的计算长6.5分钟。
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值得一提的是，从现代的观点来看，黑帕库斯后退了一步，因为大约一个世纪前阿里斯塔库斯就提出了所有的行星都围绕太阳运动的理论。但是亚历山大城的观象台历经150年的观测数据，再加上更古老的巴比伦的记录，使黑帕库斯相信，行星围绕太阳做圆周运动的日心理论不能解释这些事实。我们今天也知道这一点。
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黑帕库斯没有追随和改进阿里斯塔库斯的观点，而是将其看成纯粹是玄想而弃置不顾。其他人拒绝阿里斯塔库斯的观点，是因为，将地球看作是一颗行星，就是将地球上的可朽坏物质和不可朽坏的天体看成同一的，而这在他们看来是大不敬。这一区分在希腊思想中根深蒂固，即使亚里士多德也为其辩护，不过并没有武断地辩护。
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耶稣诞生后两个世纪，希腊天文学如日中天。是生于尼罗河畔的克劳狄乌斯·托勒密使天文学达到如此高度。像我们的历史叙述中许多的早期英雄一样，他几乎没有传记。我们只是被告知，他于78岁时去世，他在亚历山大城的天文学观测活动大概从公元127年延续到公元151年。在他的时代，他因天文学也因地理学获得声望。他还写了关于光学的著作；还出了一本关于占星术的书，其中将胡言乱语与科学混在一起。他的持久声誉来自其《数学综合》（Mathematike Syntaxis）。阿拉伯翻译者称这本书为al-megiste（最伟大的），因而产生书名《至大论》（Almagest），这本书主导了欧洲天文学达1400年之久。
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黑帕库斯的成果为我们所知是因为它保存在托勒密的《至大论》中。在其数学内容中，《至大论》给予了希腊三角学以确定的形式，而三角学保留这形式达一千多年。在天文学领域，他对关于本轮和不以地球为中心的行星轨道的地心理论作了原创性的说明，这一理论被称作托勒密理论。在量上它是如此准确，而又这样长时间为人们所接受，人们被诱惑将它看成是绝对真理。这个理论是柏拉图将天体现象合理化之问题的最终的希腊解答，并且是第一个真正伟大的科学综合。托勒密完成了黑帕库斯的工作，宇宙的数学图式之证据达到小数点后第十位。然而，像优道克苏斯一样，托勒密明确说过他的理论只是一个数学构造。
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托勒密知道阿里斯塔库斯的日心理论，但是抛弃了它，理由是一物的运动与其质量成正比。这样，如果地球运动的话，它就会将人和动物这样较轻的物体抛在后面。他的天文学以天空是球形的开始；他说，这是人类最古老的宇宙学上确定的事实。他自己的推理大都基于观测，不过旧的先天论证的回响还在持续：“天体的运动应该受到最小的阻碍，而且最容易。在平面图形中圆提供了最容易的路径，而在立体图形中球体也是这样。”托勒密认为有必要给出大地也是一个球的观测证据。正如我们已见到的，他坚持我们的星球不运动，不过他也承认，如果地球旋转，将会产生一些我们见到的现象。地球在宇宙的中央；它的体积，与星星之间的距离相比，只是一个点；他这样说是对现已确立的传统的继续。
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《至大论》的第三卷探讨的是太阳的路径问题，其要义是黑帕库斯发现的解决方法，即太阳运动的中心不是地球，而是在其近旁。托勒密说：“坚持偏心轨道的假说更合理，因为这更简单，完全由一种运动而不是两种运动实现。”这一表露的段落告诉我们，这里托勒密的思考是由优美和简洁问题主导的，而没有考虑这些天圆的物理存在。在月球理论中，托勒密发现黑帕库斯的模型——本轮绕从圆旋转——在新月和满月时符合观测结果，而在中间位置则垮掉了，这时，正如黑帕库斯已看到的，月球的表观直径似乎增加了。因此托勒密构造了一种巧妙的设计，其中在适当的位置本轮被拉向观察者。这一经调节的模型能高度准确地给出月球的黄经，但是有严重的缺陷。它隐含着我们的卫星离地球的距离有巨大的变化，而月球表观大小的可见变化却不能完全证实这距离的变化。
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托勒密的下一步是，通过比较他的观测结果和从理论中算出的位置，来推算月球到地球的距离，得出平均距离是地球半径的29.5倍。然后他借助于阿里斯塔库斯400年前的论证来推导太阳的距离，不过在这里他误入歧途，估算结果比黑帕库斯的一半还小，比实际数小10倍。在接下来的1500年中没人改进这些估算。在《至大论》的第七卷和第八卷中，托勒密改正并扩展了黑帕库斯的恒星星表，从850目增加到1022目。他根据大小（magnitude）把星星分为六类。现在magnitude这个术语不是指体积而是指表观亮度。不过，古代人认为所有的星星离地球同样远，结果亮度被看成与体积成正比。
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在第九卷中，托勒密展开了他独特的最高成就：对行星反常运动的第一个完整而严格的描述。他的起点当然是天体几何学无人质疑的第一公理，他是这样表述的：
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对于5个行星像对于太阳和月亮一样，我们的问题是要证明，所有表观上的不规则都是由规则的圆形运动产生的（因为它们不习惯于不一致和混乱）。
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在科学史上很少有哪一个先天原理这样完全而又这样长久地统治人们的思想。
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作为一级近似，托勒密认为所有的行星运动都处在黄道平面上。黄道平面即太阳的圆形路径，托勒密认为它缓慢旋转，产生了分点岁差。而且，本轮围绕从圆旋转的方案对于行星来说是不够的，因为由其导出的逆行弧对于所有的行星长度都相等，而且均匀间隔，而这与观测数据相反。托勒密反对这种过分的对称，设定了一个本轮围绕偏心轨道（eccentric）旋转。
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在偏心轨道—本轮（eccentric-epicycle）的基本模式中，现象可以被拯救了。不过托勒密发现，这只能设定每个行星的本轮不是一律围绕从圆的中心C运转，而是相对于另一个叫做对点（equant）的Q运转（见图21）。地球在E点，且EC＝CQ。行星围绕本轮运动的方向与本轮的中心围绕从圆的方向相同。（这与太阳和月球模型中所设定的相反的公转方向不同。）当行星在本轮上离地球更近的一面时，逆行就发生了。水星的情形更复杂，与托勒密为月球所作的设计相似：水星从圆的中心沿着它自己的一个小圆运动，这样这颗行星的本轮就被周期性地拉近地球。一颗内行星（金星或水星）在其自身的“一年”（等于绕太阳公转一周的时间）中沿其本轮运转一周，而本轮沿从圆运转一周需要一个行星年。外行星与这种安排相反，这里本轮沿偏心轨道运转一周的时间等于我们现在所说的行星绕太阳的公转时间，而行星围绕本轮运转一周的时间对应于我们所说的地球绕太阳的公转时间。每一个本轮都向其从圆倾斜，以保持本轮大致与黄道平行。
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图21